MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsslss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsslss 19009
Description: The subspaces of a subspace are the smaller subspaces. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsslss.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
lsslss.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsslss.t 𝑇 = (LSubSp‘𝑋)
Assertion
Ref Expression
lsslss ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑉𝑇 ↔ (𝑉𝑆𝑉𝑈)))

Proof of Theorem lsslss
StepHypRef Expression
1 lsslss.x . . . 4 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
2 lsslss.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2lsslmod 19008 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
4 eqid 2651 . . . 4 (𝑋s 𝑉) = (𝑋s 𝑉)
5 eqid 2651 . . . 4 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
6 lsslss.t . . . 4 𝑇 = (LSubSp‘𝑋)
74, 5, 6islss3 19007 . . 3 (𝑋 ∈ LMod → (𝑉𝑇 ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ (𝑋s 𝑉) ∈ LMod)))
83, 7syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑉𝑇 ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ (𝑋s 𝑉) ∈ LMod)))
9 eqid 2651 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
109, 2lssss 18985 . . . . . 6 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
1110adantl 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
121, 9ressbas2 15978 . . . . 5 (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
1311, 12syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
1413sseq2d 3666 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑉𝑈𝑉 ⊆ (Base‘𝑋)))
1514anbi1d 741 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → ((𝑉𝑈 ∧ (𝑋s 𝑉) ∈ LMod) ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ (𝑋s 𝑉) ∈ LMod)))
16 sstr2 3643 . . . . . . 7 (𝑉𝑈 → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)))
1711, 16mpan9 485 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑉𝑈) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
1817biantrurd 528 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑉𝑈) → ((𝑊s 𝑉) ∈ LMod ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊s 𝑉) ∈ LMod)))
191oveq1i 6700 . . . . . . 7 (𝑋s 𝑉) = ((𝑊s 𝑈) ↾s 𝑉)
20 ressabs 15986 . . . . . . . 8 ((𝑈𝑆𝑉𝑈) → ((𝑊s 𝑈) ↾s 𝑉) = (𝑊s 𝑉))
2120adantll 750 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑉𝑈) → ((𝑊s 𝑈) ↾s 𝑉) = (𝑊s 𝑉))
2219, 21syl5eq 2697 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑉𝑈) → (𝑋s 𝑉) = (𝑊s 𝑉))
2322eleq1d 2715 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑉𝑈) → ((𝑋s 𝑉) ∈ LMod ↔ (𝑊s 𝑉) ∈ LMod))
24 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑊s 𝑉) = (𝑊s 𝑉)
2524, 9, 2islss3 19007 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → (𝑉𝑆 ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊s 𝑉) ∈ LMod)))
2625ad2antrr 762 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑉𝑈) → (𝑉𝑆 ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊s 𝑉) ∈ LMod)))
2718, 23, 263bitr4d 300 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑉𝑈) → ((𝑋s 𝑉) ∈ LMod ↔ 𝑉𝑆))
2827pm5.32da 674 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → ((𝑉𝑈 ∧ (𝑋s 𝑉) ∈ LMod) ↔ (𝑉𝑈𝑉𝑆)))
29 ancom 465 . . 3 ((𝑉𝑈𝑉𝑆) ↔ (𝑉𝑆𝑉𝑈))
3028, 29syl6bb 276 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → ((𝑉𝑈 ∧ (𝑋s 𝑉) ∈ LMod) ↔ (𝑉𝑆𝑉𝑈)))
318, 15, 303bitr2d 296 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑉𝑇 ↔ (𝑉𝑆𝑉𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wss 3607  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  s cress 15905  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-lmod 18913  df-lss 18981
This theorem is referenced by:  lsslsp  19063  mplbas2  19518  mplind  19550  lcdlss  37225  lnmlsslnm  37968  lmhmlnmsplit  37974
  Copyright terms: Public domain W3C validator