MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssnlm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssnlm 22418
Description: A subspace of a normed module is a normed module. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssnlm.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
lssnlm.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssnlm ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)

Proof of Theorem lssnlm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nlmngp 22394 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
21adantr 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
3 nlmlmod 22395 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
4 lssnlm.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
54lsssubg 18879 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
63, 5sylan 488 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
7 lssnlm.x . . . . 5 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
87subgngp 22352 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑋 ∈ NrmGrp)
92, 6, 8syl2anc 692 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmGrp)
107, 4lsslmod 18882 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
113, 10sylan 488 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
12 eqid 2621 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
137, 12resssca 15955 . . . . 5 (𝑈𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
1413adantl 482 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
1512nlmnrg 22396 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmMod → (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing)
1615adantr 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing)
1714, 16eqeltrrd 2699 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑋) ∈ NrmRing)
189, 11, 173jca 1240 . 2 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ NrmRing))
19 simpll 789 . . . . 5 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑊 ∈ NrmMod)
20 simprl 793 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)))
2114adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
2221fveq2d 6154 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑋)))
2320, 22eleqtrrd 2701 . . . . 5 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
246adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
25 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2625subgss 17519 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
2724, 26syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
28 simprr 795 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))
297subgbas 17522 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
3024, 29syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
3128, 30eleqtrrd 2701 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑦𝑈)
3227, 31sseldd 3585 . . . . 5 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
33 eqid 2621 . . . . . 6 (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
34 eqid 2621 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
35 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
36 eqid 2621 . . . . . 6 (norm‘(Scalar‘𝑊)) = (norm‘(Scalar‘𝑊))
3725, 33, 34, 12, 35, 36nmvs 22393 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦)))
3819, 23, 32, 37syl3anc 1323 . . . 4 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦)))
39 simplr 791 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈𝑆)
407, 34ressvsca 15956 . . . . . . . 8 (𝑈𝑆 → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑋))
4139, 40syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑋))
4241oveqd 6624 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝑋)𝑦))
4342fveq2d 6154 . . . . 5 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠𝑋)𝑦)))
443ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑊 ∈ LMod)
4512, 34, 35, 4lssvscl 18877 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦𝑈)) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
4644, 39, 23, 31, 45syl22anc 1324 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
47 eqid 2621 . . . . . . 7 (norm‘𝑋) = (norm‘𝑋)
487, 33, 47subgnm2 22351 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑈) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)))
4924, 46, 48syl2anc 692 . . . . 5 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)))
5043, 49eqtr3d 2657 . . . 4 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠𝑋)𝑦)) = ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)))
5121eqcomd 2627 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑊))
5251fveq2d 6154 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (norm‘(Scalar‘𝑋)) = (norm‘(Scalar‘𝑊)))
5352fveq1d 6152 . . . . 5 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) = ((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥))
547, 33, 47subgnm2 22351 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑦𝑈) → ((norm‘𝑋)‘𝑦) = ((norm‘𝑊)‘𝑦))
5524, 31, 54syl2anc 692 . . . . 5 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘𝑦) = ((norm‘𝑊)‘𝑦))
5653, 55oveq12d 6625 . . . 4 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦)))
5738, 50, 563eqtr4d 2665 . . 3 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠𝑋)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦)))
5857ralrimivva 2965 . 2 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋))∀𝑦 ∈ (Base‘𝑋)((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠𝑋)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦)))
59 eqid 2621 . . 3 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
60 eqid 2621 . . 3 ( ·𝑠𝑋) = ( ·𝑠𝑋)
61 eqid 2621 . . 3 (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
62 eqid 2621 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
63 eqid 2621 . . 3 (norm‘(Scalar‘𝑋)) = (norm‘(Scalar‘𝑋))
6459, 47, 60, 61, 62, 63isnlm 22392 . 2 (𝑋 ∈ NrmMod ↔ ((𝑋 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋))∀𝑦 ∈ (Base‘𝑋)((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠𝑋)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦))))
6518, 58, 64sylanbrc 697 1 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wss 3556  cfv 5849  (class class class)co 6607   · cmul 9888  Basecbs 15784  s cress 15785  Scalarcsca 15868   ·𝑠 cvsca 15869  SubGrpcsubg 17512  LModclmod 18787  LSubSpclss 18854  normcnm 22294  NrmGrpcngp 22295  NrmRingcnrg 22297  NrmModcnlm 22298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-map 7807  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-sup 8295  df-inf 8296  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-q 11736  df-rp 11780  df-xneg 11893  df-xadd 11894  df-xmul 11895  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-tset 15884  df-ds 15888  df-rest 16007  df-topn 16008  df-0g 16026  df-topgen 16028  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-grp 17349  df-minusg 17350  df-sbg 17351  df-subg 17515  df-mgp 18414  df-ur 18426  df-ring 18473  df-lmod 18789  df-lss 18855  df-psmet 19660  df-xmet 19661  df-met 19662  df-bl 19663  df-mopn 19664  df-top 20621  df-topon 20638  df-topsp 20651  df-bases 20664  df-xms 22038  df-ms 22039  df-nm 22300  df-ngp 22301  df-nlm 22304
This theorem is referenced by:  lssnvc  22419
  Copyright terms: Public domain W3C validator