MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsspropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsspropd 18957
Description: If two structures have the same components (properties), they have the same subspace structure. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsspropd.b1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
lsspropd.b2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
lsspropd.w (𝜑𝐵𝑊)
lsspropd.p ((𝜑 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
lsspropd.s1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
lsspropd.s2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝐿)𝑦))
lsspropd.p1 (𝜑𝑃 = (Base‘(Scalar‘𝐾)))
lsspropd.p2 (𝜑𝑃 = (Base‘(Scalar‘𝐿)))
Assertion
Ref Expression
lsspropd (𝜑 → (LSubSp‘𝐾) = (LSubSp‘𝐿))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Proof of Theorem lsspropd
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑧 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 789 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → 𝜑)
2 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → 𝑧𝑃)
3 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → 𝑠𝐵)
4 simprrl 803 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → 𝑎𝑠)
53, 4sseldd 3589 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → 𝑎𝐵)
6 lsspropd.s1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
76ralrimivva 2967 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑥𝑃𝑦𝐵 (𝑥( ·𝑠𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
87ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → ∀𝑥𝑃𝑦𝐵 (𝑥( ·𝑠𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
9 ovrspc2v 6637 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧𝑃𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑃𝑦𝐵 (𝑥( ·𝑠𝐾)𝑦) ∈ 𝑊) → (𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎) ∈ 𝑊)
102, 5, 8, 9syl21anc 1322 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → (𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎) ∈ 𝑊)
11 lsspropd.w . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵𝑊)
1211ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → 𝐵𝑊)
13 simprrr 804 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → 𝑏𝑠)
143, 13sseldd 3589 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → 𝑏𝐵)
1512, 14sseldd 3589 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → 𝑏𝑊)
16 lsspropd.p . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
1716oveqrspc2v 6638 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎) ∈ 𝑊𝑏𝑊)) → ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) = ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐿)𝑏))
181, 10, 15, 17syl12anc 1321 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) = ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐿)𝑏))
19 lsspropd.s2 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝐿)𝑦))
2019oveqrspc2v 6638 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑃𝑎𝐵)) → (𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎) = (𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎))
211, 2, 5, 20syl12anc 1321 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → (𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎) = (𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎))
2221oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐿)𝑏) = ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏))
2318, 22eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) = ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏))
2423eleq1d 2683 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑧𝑃 ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠))) → (((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏) ∈ 𝑠))
2524anassrs 679 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠𝐵) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠)) → (((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏) ∈ 𝑠))
26252ralbidva 2984 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ 𝑧𝑃) → (∀𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏) ∈ 𝑠))
2726ralbidva 2981 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐵) → (∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏) ∈ 𝑠))
2827anbi2d 739 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐵) → ((𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏) ∈ 𝑠)))
2928pm5.32da 672 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑠𝐵 ∧ (𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) ∈ 𝑠)) ↔ (𝑠𝐵 ∧ (𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏) ∈ 𝑠))))
30 3anass 1040 . . . . 5 ((𝑠𝐵𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠𝐵 ∧ (𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) ∈ 𝑠)))
31 3anass 1040 . . . . 5 ((𝑠𝐵𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠𝐵 ∧ (𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏) ∈ 𝑠)))
3229, 30, 313bitr4g 303 . . . 4 (𝜑 → ((𝑠𝐵𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠𝐵𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏) ∈ 𝑠)))
33 lsspropd.b1 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
3433sseq2d 3618 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠𝐵𝑠 ⊆ (Base‘𝐾)))
35 lsspropd.p1 . . . . . 6 (𝜑𝑃 = (Base‘(Scalar‘𝐾)))
3635raleqdv 3137 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐾))∀𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) ∈ 𝑠))
3734, 363anbi13d 1398 . . . 4 (𝜑 → ((𝑠𝐵𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ 𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐾))∀𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) ∈ 𝑠)))
38 lsspropd.b2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
3938sseq2d 3618 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠𝐵𝑠 ⊆ (Base‘𝐿)))
40 lsspropd.p2 . . . . . 6 (𝜑𝑃 = (Base‘(Scalar‘𝐿)))
4140raleqdv 3137 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐿))∀𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏) ∈ 𝑠))
4239, 413anbi13d 1398 . . . 4 (𝜑 → ((𝑠𝐵𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑃𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐿) ∧ 𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐿))∀𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏) ∈ 𝑠)))
4332, 37, 423bitr3d 298 . . 3 (𝜑 → ((𝑠 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ 𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐾))∀𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐿) ∧ 𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐿))∀𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏) ∈ 𝑠)))
44 eqid 2621 . . . 4 (Scalar‘𝐾) = (Scalar‘𝐾)
45 eqid 2621 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝐾)) = (Base‘(Scalar‘𝐾))
46 eqid 2621 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
47 eqid 2621 . . . 4 (+g𝐾) = (+g𝐾)
48 eqid 2621 . . . 4 ( ·𝑠𝐾) = ( ·𝑠𝐾)
49 eqid 2621 . . . 4 (LSubSp‘𝐾) = (LSubSp‘𝐾)
5044, 45, 46, 47, 48, 49islss 18875 . . 3 (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝐾) ↔ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ 𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐾))∀𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐾)𝑎)(+g𝐾)𝑏) ∈ 𝑠))
51 eqid 2621 . . . 4 (Scalar‘𝐿) = (Scalar‘𝐿)
52 eqid 2621 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝐿)) = (Base‘(Scalar‘𝐿))
53 eqid 2621 . . . 4 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
54 eqid 2621 . . . 4 (+g𝐿) = (+g𝐿)
55 eqid 2621 . . . 4 ( ·𝑠𝐿) = ( ·𝑠𝐿)
56 eqid 2621 . . . 4 (LSubSp‘𝐿) = (LSubSp‘𝐿)
5751, 52, 53, 54, 55, 56islss 18875 . . 3 (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝐿) ↔ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐿) ∧ 𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐿))∀𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑧( ·𝑠𝐿)𝑎)(+g𝐿)𝑏) ∈ 𝑠))
5843, 50, 573bitr4g 303 . 2 (𝜑 → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝐾) ↔ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝐿)))
5958eqrdv 2619 1 (𝜑 → (LSubSp‘𝐾) = (LSubSp‘𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  wss 3560  c0 3897  cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  Scalarcsca 15884   ·𝑠 cvsca 15885  LSubSpclss 18872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fv 5865  df-ov 6618  df-lss 18873
This theorem is referenced by:  lsppropd  18958  lidlrsppropd  19170  ply1lss  19506
  Copyright terms: Public domain W3C validator