MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssss 19637
Description: A subspace is a set of vectors. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssss (𝑈𝑆𝑈𝑉)

Proof of Theorem lssss
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . 3 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2 eqid 2818 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3 lssss.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 eqid 2818 . . 3 (+g𝑊) = (+g𝑊)
5 eqid 2818 . . 3 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
6 lssss.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
71, 2, 3, 4, 5, 6islss 19635 . 2 (𝑈𝑆 ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
87simp1bi 1137 1 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wss 3933  c0 4288  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  LSubSpclss 19632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-ov 7148  df-lss 19633
This theorem is referenced by:  lssel  19638  lssuni  19640  00lss  19642  lsssubg  19658  islss3  19660  lsslss  19662  lssintcl  19665  lssmre  19667  lssacs  19668  lspid  19683  lspssv  19684  lspssp  19689  lsslsp  19716  lmhmima  19748  reslmhm  19753  lsmsp  19787  pj1lmhm  19801  lsppratlem2  19849  lsppratlem3  19850  lsppratlem4  19851  lspprat  19854  lbsextlem3  19861  lidlss  19911  ocvin  20746  pjdm2  20783  pjff  20784  pjf2  20786  pjfo  20787  pjcss  20788  frlmgsum  20844  frlmsplit2  20845  lsslindf  20902  lsslinds  20903  cphsscph  23781  lssbn  23882  minveclem1  23954  minveclem2  23956  minveclem3a  23957  minveclem3b  23958  minveclem3  23959  minveclem4a  23960  minveclem4b  23961  minveclem4  23962  minveclem6  23964  minveclem7  23965  pjthlem1  23967  pjthlem2  23968  pjth  23969  lssdimle  30905  islshpsm  35996  lshpnelb  36000  lshpnel2N  36001  lshpcmp  36004  lsatssv  36014  lssats  36028  lpssat  36029  lssatle  36031  lssat  36032  islshpcv  36069  lkrssv  36112  lkrlsp  36118  dvhopellsm  38133  dvadiaN  38144  dihss  38267  dihrnss  38294  dochord2N  38387  dochord3  38388  dihoml4  38393  dochsat  38399  dochshpncl  38400  dochnoncon  38407  djhlsmcl  38430  dihjat1lem  38444  dochsatshp  38467  dochsatshpb  38468  dochshpsat  38470  dochexmidlem2  38477  dochexmidlem5  38480  dochexmidlem6  38481  dochexmidlem7  38482  dochexmidlem8  38483  lclkrlem2p  38538  lclkrlem2v  38544  lcfrlem5  38562  lcfr  38601  mapdpglem17N  38704  mapdpglem18  38705  mapdpglem21  38708  islssfg  39548  islssfg2  39549  lnmlsslnm  39559  kercvrlsm  39561  lnmepi  39563  filnm  39568  gsumlsscl  44359  lincellss  44409  ellcoellss  44418
  Copyright terms: Public domain W3C validator