MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsssssubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsssssubg 19659
Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lsssubg.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lsssssubg (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssssubg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsssubg.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
21lsssubg 19658 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
32ex 413 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (𝑥𝑆𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)))
43ssrdv 3970 1 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3933  cfv 6348  SubGrpcsubg 18211  LModclmod 19563  LSubSpclss 19632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-lmod 19565  df-lss 19633
This theorem is referenced by:  lsmsp  19787  lspprabs  19796  pj1lmhm  19801  pj1lmhm2  19802  lspindpi  19833  lvecindp  19839  lsmcv  19842  pjdm2  20783  pjf2  20786  pjfo  20787  ocvpj  20789  pjthlem2  23968  lshpnel  35999  lshpnelb  36000  lsmsat  36024  lrelat  36030  lsmcv2  36045  lcvexchlem1  36050  lcvexchlem2  36051  lcvexchlem3  36052  lcvexchlem4  36053  lcvexchlem5  36054  lcv1  36057  lcv2  36058  lsatexch  36059  lsatcv0eq  36063  lsatcvatlem  36065  lsatcvat  36066  lsatcvat3  36068  l1cvat  36071  lkrlsp  36118  lshpsmreu  36125  lshpkrlem5  36130  dia2dimlem5  38084  dia2dimlem9  38088  dvhopellsm  38133  diblsmopel  38187  cdlemn5pre  38216  cdlemn11c  38225  dihjustlem  38232  dihord1  38234  dihord2a  38235  dihord2b  38236  dihord11c  38240  dihord6apre  38272  dihord5b  38275  dihord5apre  38278  dihjatc3  38329  dihmeetlem9N  38331  dihjatcclem1  38434  dihjatcclem2  38435  dihjat  38439  dvh3dim3N  38465  dochexmidlem2  38477  dochexmidlem6  38481  dochexmidlem7  38482  lclkrlem2b  38524  lclkrlem2f  38528  lclkrlem2v  38544  lclkrslem2  38554  lcfrlem23  38581  lcfrlem25  38583  lcfrlem35  38593  mapdlsm  38680  mapdpglem3  38691  mapdindp0  38735  lspindp5  38786  hdmaprnlem3eN  38874  hdmapglem7a  38943
  Copyright terms: Public domain W3C validator