Theorem lsssssubg 18725

Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsssubg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsssssubg	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssssubg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsssubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2	1	lsssubg 18724	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3	2	ex 448	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)))
4	3	ssrdv 3573	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1474   ∈ wcel 1976   ⊆ wss 3539  ‘cfv 5790  SubGrpcsubg 17357  LModclmod 18632  LSubSpclss 18699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-0g 15871  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-subg 17360  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-lmod 18634  df-lss 18700

This theorem is referenced by:  lsmsp  18853  lspprabs  18862  pj1lmhm  18867  pj1lmhm2  18868  lspindpi  18899  lvecindp  18905  lsmcv  18908  pjdm2  19816  pjf2  19819  pjfo  19820  ocvpj  19822  pjthlem2  22934  lshpnel  33084  lshpnelb  33085  lsmsat  33109  lrelat  33115  lsmcv2  33130  lcvexchlem1  33135  lcvexchlem2  33136  lcvexchlem3  33137  lcvexchlem4  33138  lcvexchlem5  33139  lcv1  33142  lcv2  33143  lsatexch  33144  lsatcv0eq  33148  lsatcvatlem  33150  lsatcvat  33151  lsatcvat3  33153  l1cvat  33156  lkrlsp  33203  lshpsmreu  33210  lshpkrlem5  33215  dia2dimlem5  35171  dia2dimlem9  35175  dvhopellsm  35220  diblsmopel  35274  cdlemn5pre  35303  cdlemn11c  35312  dihjustlem  35319  dihord1  35321  dihord2a  35322  dihord2b  35323  dihord11c  35327  dihord6apre  35359  dihord5b  35362  dihord5apre  35365  dihjatc3  35416  dihmeetlem9N  35418  dihjatcclem1  35521  dihjatcclem2  35522  dihjat  35526  dvh3dim3N  35552  dochexmidlem2  35564  dochexmidlem6  35568  dochexmidlem7  35569  lclkrlem2b  35611  lclkrlem2f  35615  lclkrlem2v  35631  lclkrslem2  35641  lcfrlem23  35668  lcfrlem25  35670  lcfrlem35  35680  mapdlsm  35767  mapdpglem3  35778  mapdindp0  35822  lspindp5  35873  hdmaprnlem3eN  35964  hdmapglem7a  36033