Theorem lsssssubg 19006

Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsssubg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsssssubg	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssssubg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsssubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2	1	lsssubg 19005	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3	2	ex 449	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)))
4	3	ssrdv 3642	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ⊆ wss 3607  ‘cfv 5926  SubGrpcsubg 17635  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-lmod 18913  df-lss 18981

This theorem is referenced by:  lsmsp  19134  lspprabs  19143  pj1lmhm  19148  pj1lmhm2  19149  lspindpi  19180  lvecindp  19186  lsmcv  19189  pjdm2  20103  pjf2  20106  pjfo  20107  ocvpj  20109  pjthlem2  23255  lshpnel  34588  lshpnelb  34589  lsmsat  34613  lrelat  34619  lsmcv2  34634  lcvexchlem1  34639  lcvexchlem2  34640  lcvexchlem3  34641  lcvexchlem4  34642  lcvexchlem5  34643  lcv1  34646  lcv2  34647  lsatexch  34648  lsatcv0eq  34652  lsatcvatlem  34654  lsatcvat  34655  lsatcvat3  34657  l1cvat  34660  lkrlsp  34707  lshpsmreu  34714  lshpkrlem5  34719  dia2dimlem5  36674  dia2dimlem9  36678  dvhopellsm  36723  diblsmopel  36777  cdlemn5pre  36806  cdlemn11c  36815  dihjustlem  36822  dihord1  36824  dihord2a  36825  dihord2b  36826  dihord11c  36830  dihord6apre  36862  dihord5b  36865  dihord5apre  36868  dihjatc3  36919  dihmeetlem9N  36921  dihjatcclem1  37024  dihjatcclem2  37025  dihjat  37029  dvh3dim3N  37055  dochexmidlem2  37067  dochexmidlem6  37071  dochexmidlem7  37072  lclkrlem2b  37114  lclkrlem2f  37118  lclkrlem2v  37134  lclkrslem2  37144  lcfrlem23  37171  lcfrlem25  37173  lcfrlem35  37183  mapdlsm  37270  mapdpglem3  37281  mapdindp0  37325  lspindp5  37376  hdmaprnlem3eN  37467  hdmapglem7a  37536