MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssvancl1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssvancl1 18993
Description: Non-closure: if one vector belongs to a subspace but another does not, their sum does not belong. Useful for obtaining a new vector not in a subspace. TODO: notice similarity to lspindp3 19184. Can it be used along with lspsnne1 19165, lspsnne2 19166 to shorten this proof? (Contributed by NM, 14-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvancl.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssvancl.p + = (+g𝑊)
lssvancl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssvancl.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lssvancl.u (𝜑𝑈𝑆)
lssvancl.x (𝜑𝑋𝑈)
lssvancl.y (𝜑𝑌𝑉)
lssvancl.n (𝜑 → ¬ 𝑌𝑈)
Assertion
Ref Expression
lssvancl1 (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lssvancl1
StepHypRef Expression
1 lssvancl.n . 2 (𝜑 → ¬ 𝑌𝑈)
2 lssvancl.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
3 lmodabl 18958 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
5 lssvancl.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑆)
6 lssvancl.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑈)
7 lssvancl.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 lssvancl.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
97, 8lssel 18986 . . . . . 6 ((𝑈𝑆𝑋𝑈) → 𝑋𝑉)
105, 6, 9syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
11 lssvancl.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
12 lssvancl.p . . . . . 6 + = (+g𝑊)
13 eqid 2651 . . . . . 6 (-g𝑊) = (-g𝑊)
147, 12, 13ablpncan2 18267 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)𝑋) = 𝑌)
154, 10, 11, 14syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)𝑋) = 𝑌)
1615adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)𝑋) = 𝑌)
172adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
185adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑈𝑆)
19 simpr 476 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)
206adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑋𝑈)
2113, 8lssvsubcl 18992 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈𝑋𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
2217, 18, 19, 20, 21syl22anc 1367 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
2316, 22eqeltrrd 2731 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑌𝑈)
241, 23mtand 692 1 (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  -gcsg 17471  Abelcabl 18240  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-lmod 18913  df-lss 18981
This theorem is referenced by:  lssvancl2  18994  dvh3dim2  37054  dvh3dim3N  37055  hdmap11lem2  37451
  Copyright terms: Public domain W3C validator