MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssvscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssvscl 18718
Description: Closure of scalar product in a subspace. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvscl.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lssvscl.t · = ( ·𝑠𝑊)
lssvscl.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
lssvscl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssvscl (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lssvscl
StepHypRef Expression
1 simpll 785 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
2 simprl 789 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈)) → 𝑋𝐵)
3 eqid 2605 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4 lssvscl.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
53, 4lssel 18701 . . . . 5 ((𝑈𝑆𝑌𝑈) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
65ad2ant2l 777 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
7 lssvscl.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8 lssvscl.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
9 lssvscl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐹)
103, 7, 8, 9lmodvscl 18645 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
111, 2, 6, 10syl3anc 1317 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
12 eqid 2605 . . . 4 (+g𝑊) = (+g𝑊)
13 eqid 2605 . . . 4 (0g𝑊) = (0g𝑊)
143, 12, 13lmod0vrid 18659 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g𝑊)(0g𝑊)) = (𝑋 · 𝑌))
151, 11, 14syl2anc 690 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g𝑊)(0g𝑊)) = (𝑋 · 𝑌))
16 simplr 787 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈)) → 𝑈𝑆)
17 simprr 791 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈)) → 𝑌𝑈)
1813, 4lss0cl 18710 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (0g𝑊) ∈ 𝑈)
1918adantr 479 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈)) → (0g𝑊) ∈ 𝑈)
207, 9, 12, 8, 4lsscl 18706 . . 3 ((𝑈𝑆 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈 ∧ (0g𝑊) ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g𝑊)(0g𝑊)) ∈ 𝑈)
2116, 2, 17, 19, 20syl13anc 1319 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g𝑊)(0g𝑊)) ∈ 𝑈)
2215, 21eqeltrrd 2684 1 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑈)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  cfv 5786  (class class class)co 6523  Basecbs 15637  +gcplusg 15710  Scalarcsca 15713   ·𝑠 cvsca 15714  0gc0g 15865  LModclmod 18628  LSubSpclss 18695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-plusg 15723  df-0g 15867  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-sbg 17192  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-lmod 18630  df-lss 18696
This theorem is referenced by:  lssvnegcl  18719  islss3  18722  islss4  18725  lspsneli  18764  lspsn  18765  lmhmima  18810  lmhmpreima  18811  reslmhm  18815  lsmcl  18846  pj1lmhm  18863  lssvs0or  18873  lspfixed  18891  lspexch  18892  lspsolv  18906  lidlmcl  18980  mplbas2  19233  frlmssuvc1  19890  frlmsslsp  19892  lssnlm  22244  minveclem2  22918  pjthlem1  22929  lshpkrlem5  33218  ldualssvscl  33262  dochkr1  35584  dochkr1OLDN  35585  lclkrlem2o  35627  lcfrlem5  35652  lcdlssvscl  35712  hgmapvvlem3  36034  gsumlsscl  41956
  Copyright terms: Public domain W3C validator