Theorem lsw0 13385

Description: The last symbol of an empty word does not exist. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lsw0	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 0) → ( lastS ‘𝑊) = ∅)

Proof of Theorem lsw0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsw 13384	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 0) → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
3		oveq1 6697	. . . 4 ⊢ ((#‘𝑊) = 0 → ((#‘𝑊) − 1) = (0 − 1))
4	3	fveq2d 6233	. . 3 ⊢ ((#‘𝑊) = 0 → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(0 − 1)))
5		wrddm 13344	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)))
6		1nn 11069	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		nnnle0 11089	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℕ → ¬ 1 ≤ 0)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 ≤ 0
9		0re 10078	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		1re 10077	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
11	9, 10	subge0i 10619	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ (0 − 1) ↔ 1 ≤ 0)
12	8, 11	mtbir 312	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0 ≤ (0 − 1)
13		elfzole1 12517	. . . . . 6 ⊢ ((0 − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 0 ≤ (0 − 1))
14	12, 13	mto 188	. . . . 5 ⊢ ¬ (0 − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))
15		eleq2 2719	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)) → ((0 − 1) ∈ dom 𝑊 ↔ (0 − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))))
16	14, 15	mtbiri 316	. . . 4 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)) → ¬ (0 − 1) ∈ dom 𝑊)
17		ndmfv 6256	. . . 4 ⊢ (¬ (0 − 1) ∈ dom 𝑊 → (𝑊‘(0 − 1)) = ∅)
18	5, 16, 17	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊‘(0 − 1)) = ∅)
19	4, 18	sylan9eqr 2707	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 0) → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) = ∅)
20	2, 19	eqtrd 2685	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 0) → ( lastS ‘𝑊) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∅c0 3948   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   ≤ cle 10113   − cmin 10304  ℕcn 11058  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323   lastS clsw 13324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-lsw 13332

This theorem is referenced by:  lsw0g  13386