Theorem lsw0 13153

Description: The last symbol of an empty word does not exist. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lsw0	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 0) → ( lastS ‘𝑊) = ∅)

Proof of Theorem lsw0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsw 13152	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
2	1	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 0) → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
3		oveq1 6533	. . . 4 ⊢ ((#‘𝑊) = 0 → ((#‘𝑊) − 1) = (0 − 1))
4	3	fveq2d 6091	. . 3 ⊢ ((#‘𝑊) = 0 → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(0 − 1)))
5		wrddm 13115	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)))
6		1nn 10880	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		nnnle0 10900	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℕ → ¬ 1 ≤ 0)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 ≤ 0
9		0re 9896	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		1re 9895	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
11	9, 10	subge0i 10432	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ (0 − 1) ↔ 1 ≤ 0)
12	8, 11	mtbir 311	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0 ≤ (0 − 1)
13		elfzole1 12304	. . . . . 6 ⊢ ((0 − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 0 ≤ (0 − 1))
14	12, 13	mto 186	. . . . 5 ⊢ ¬ (0 − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))
15		eleq2 2676	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)) → ((0 − 1) ∈ dom 𝑊 ↔ (0 − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))))
16	14, 15	mtbiri 315	. . . 4 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)) → ¬ (0 − 1) ∈ dom 𝑊)
17		ndmfv 6112	. . . 4 ⊢ (¬ (0 − 1) ∈ dom 𝑊 → (𝑊‘(0 − 1)) = ∅)
18	5, 16, 17	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊‘(0 − 1)) = ∅)
19	4, 18	sylan9eqr 2665	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 0) → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) = ∅)
20	2, 19	eqtrd 2643	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 0) → ( lastS ‘𝑊) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  ∅c0 3873   class class class wbr 4577  dom cdm 5027  ‘cfv 5789  (class class class)co 6526  0cc0 9792  1c1 9793   ≤ cle 9931   − cmin 10117  ℕcn 10869  ..^cfzo 12291  #chash 12936  Word cword 13094   lastS clsw 13095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-hash 12937  df-word 13102  df-lsw 13103

This theorem is referenced by:  lsw0g  13154