Theorem lswn0 40152

Description: The last symbol of a not empty word exists. The empty set must be excluded as symbol, because otherwise, it cannot be distinguished between valid cases (∅ is the last symbol) and invalid cases (∅ means that no last symbol exists. This is because of the special definition of a function in set.mm. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
lswn0	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → ( lastS ‘𝑊) ≠ ∅)

Proof of Theorem lswn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsw 13059	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
2	1	3ad2ant1 1074	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
3		wrdf 13020	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑉)
4		lencl 13034	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
5		simpll 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → 𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑉)
6		elnnne0 11059	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0))
7	6	biimpri 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
8		nnm1nn0 11087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
10		nn0re 11054	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
11	10	ltm1d 10704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) < (#‘𝑊))
12	11	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → ((#‘𝑊) − 1) < (#‘𝑊))
13		elfzo0 12241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑊) − 1) < (#‘𝑊)))
14	9, 7, 12, 13	syl3anbrc 1238	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
15	14	adantll 745	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
16	5, 15	ffvelrnd 6151	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉)
17	16	ex 448	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉))
18	3, 4, 17	syl2anc 690	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉))
19		eleq1a 2587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → (∅ = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) → ∅ ∈ 𝑉))
20	19	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) → ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ∅ ∈ 𝑉))
21	20	eqcoms 2522	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) = ∅ → ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ∅ ∈ 𝑉))
22	21	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) = ∅ → ∅ ∈ 𝑉))
23		nnel 2796	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∅ ∉ 𝑉 ↔ ∅ ∈ 𝑉)
24	22, 23	syl6ibr 240	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) = ∅ → ¬ ∅ ∉ 𝑉))
25	24	necon2ad 2701	. . . . 5 ⊢ ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → (∅ ∉ 𝑉 → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ≠ ∅))
26	18, 25	syl6 34	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑊) ≠ 0 → (∅ ∉ 𝑉 → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)))
27	26	com23 83	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (∅ ∉ 𝑉 → ((#‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)))
28	27	3imp 1248	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)
29	2, 28	eqnetrd 2753	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → ( lastS ‘𝑊) ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1030   = wceq 1474   ∈ wcel 1938   ≠ wne 2684   ∉ wnel 2685  ∅c0 3777   class class class wbr 4481  ⟶wf 5685  ‘cfv 5689  (class class class)co 6425  0cc0 9689  1c1 9690   < clt 9827   − cmin 10015  ℕcn 10773  ℕ₀cn0 11045  ..^cfzo 12199  #chash 12844  Word cword 13001   lastS clsw 13002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721  ax-cnex 9745  ax-resscn 9746  ax-1cn 9747  ax-icn 9748  ax-addcl 9749  ax-addrcl 9750  ax-mulcl 9751  ax-mulrcl 9752  ax-mulcom 9753  ax-addass 9754  ax-mulass 9755  ax-distr 9756  ax-i2m1 9757  ax-1ne0 9758  ax-1rid 9759  ax-rnegex 9760  ax-rrecex 9761  ax-cnre 9762  ax-pre-lttri 9763  ax-pre-lttrn 9764  ax-pre-ltadd 9765  ax-pre-mulgt0 9766

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6832  df-1st 6932  df-2nd 6933  df-wrecs 7167  df-recs 7229  df-rdg 7267  df-1o 7321  df-oadd 7325  df-er 7503  df-en 7716  df-dom 7717  df-sdom 7718  df-fin 7719  df-card 8522  df-pnf 9829  df-mnf 9830  df-xr 9831  df-ltxr 9832  df-le 9833  df-sub 10017  df-neg 10018  df-nn 10774  df-n0 11046  df-z 11117  df-uz 11424  df-fz 12063  df-fzo 12200  df-hash 12845  df-word 13009  df-lsw 13010

This theorem is referenced by: (None)