MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lt0neg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lt0neg1 10386
Description: Comparison of a number and its negative to zero. Theorem I.23 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
lt0neg1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))

Proof of Theorem lt0neg1
StepHypRef Expression
1 0re 9897 . . 3 0 ∈ ℝ
2 ltneg 10380 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 ↔ -0 < -𝐴))
31, 2mpan2 702 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ -0 < -𝐴))
4 neg0 10179 . . 3 -0 = 0
54breq1i 4584 . 2 (-0 < -𝐴 ↔ 0 < -𝐴)
63, 5syl6bb 274 1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wcel 1976   class class class wbr 4577  cr 9792  0cc0 9793   < clt 9931  -cneg 10119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121
This theorem is referenced by:  mullt0  10399  lt0neg1d  10449  recgt0ii  10781  rpneg  11698  negelrp  11699  divalglem6  14908  sinhalfpilem  23964  atanbnd  24398  sgnmulsgp  29773  mulltgt0  38028  ztprmneprm  41940
  Copyright terms: Public domain W3C validator