Theorem lt0neg2 11149

Description: Comparison of a number and its negative to zero. (Contributed by NM, 10-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
lt0neg2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))

Proof of Theorem lt0neg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10645	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		ltneg 11142	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < -0))
3	1, 2	mpan 688	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < -0))
4		neg0 10934	. . 3 ⊢ -0 = 0
5	4	breq2i 5076	. 2 ⊢ (-𝐴 < -0 ↔ -𝐴 < 0)
6	3, 5	syl6bb 289	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  ℝcr 10538  0cc0 10539   < clt 10677  -cneg 10873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875

This theorem is referenced by:  lt0neg2d  11212  elnnz  11994  sincos2sgn  15549  tanord1  25123  tanregt0  25125  relogrn  25147  logneg  25173  asin1  25474  reasinsin  25476  atanbnd  25506  atan1  25508  sgnneg  31800  logi  32968  bj-pinftynminfty  34511  tan2h  34886  negpilt0  41553  stoweidlem34  42326  stirlinglem10  42375  fourierdlem103  42501