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Theorem lt6abl 18065
Description: A group with fewer than 6 elements is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
cygctb.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lt6abl ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) < 6) → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem lt6abl
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
21grpbn0 17220 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
32adantr 479 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) < 6) → 𝐵 ≠ ∅)
4 6re 10948 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
5 rexr 9941 . . . . . . . 8 (6 ∈ ℝ → 6 ∈ ℝ*)
6 pnfnlt 11799 . . . . . . . 8 (6 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 6)
74, 5, 6mp2b 10 . . . . . . 7 ¬ +∞ < 6
8 fvex 6098 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝐺) ∈ V
91, 8eqeltri 2683 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ∈ V
109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ V)
11 hashinf 12939 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐵) = +∞)
1210, 11sylan 486 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐵) = +∞)
1312breq1d 4587 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐵) < 6 ↔ +∞ < 6))
1413biimpd 217 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐵) < 6 → +∞ < 6))
1514impancom 454 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) < 6) → (¬ 𝐵 ∈ Fin → +∞ < 6))
167, 15mt3i 139 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) < 6) → 𝐵 ∈ Fin)
17 hashnncl 12970 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin → ((#‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
1816, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) < 6) → ((#‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
193, 18mpbird 245 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) < 6) → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
20 nnuz 11555 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2119, 20syl6eleq 2697 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) < 6) → (#‘𝐵) ∈ (ℤ‘1))
22 6nn 11036 . . . . 5 6 ∈ ℕ
2322nnzi 11234 . . . 4 6 ∈ ℤ
2423a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) < 6) → 6 ∈ ℤ)
25 simpr 475 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) < 6) → (#‘𝐵) < 6)
26 elfzo2 12297 . . 3 ((#‘𝐵) ∈ (1..^6) ↔ ((#‘𝐵) ∈ (ℤ‘1) ∧ 6 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) < 6))
2721, 24, 25, 26syl3anbrc 1238 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) < 6) → (#‘𝐵) ∈ (1..^6))
28 df-6 10930 . . . . . . 7 6 = (5 + 1)
2928oveq2i 6538 . . . . . 6 (1..^6) = (1..^(5 + 1))
3029eleq2i 2679 . . . . 5 ((#‘𝐵) ∈ (1..^6) ↔ (#‘𝐵) ∈ (1..^(5 + 1)))
31 5nn 11035 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ
3231, 20eleqtri 2685 . . . . . 6 5 ∈ (ℤ‘1)
33 fzosplitsni 12399 . . . . . 6 (5 ∈ (ℤ‘1) → ((#‘𝐵) ∈ (1..^(5 + 1)) ↔ ((#‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (#‘𝐵) = 5)))
3432, 33ax-mp 5 . . . . 5 ((#‘𝐵) ∈ (1..^(5 + 1)) ↔ ((#‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (#‘𝐵) = 5))
3530, 34bitri 262 . . . 4 ((#‘𝐵) ∈ (1..^6) ↔ ((#‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (#‘𝐵) = 5))
36 df-5 10929 . . . . . . . . 9 5 = (4 + 1)
3736oveq2i 6538 . . . . . . . 8 (1..^5) = (1..^(4 + 1))
3837eleq2i 2679 . . . . . . 7 ((#‘𝐵) ∈ (1..^5) ↔ (#‘𝐵) ∈ (1..^(4 + 1)))
39 4nn 11034 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ
4039, 20eleqtri 2685 . . . . . . . 8 4 ∈ (ℤ‘1)
41 fzosplitsni 12399 . . . . . . . 8 (4 ∈ (ℤ‘1) → ((#‘𝐵) ∈ (1..^(4 + 1)) ↔ ((#‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (#‘𝐵) = 4)))
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . 7 ((#‘𝐵) ∈ (1..^(4 + 1)) ↔ ((#‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (#‘𝐵) = 4))
4338, 42bitri 262 . . . . . 6 ((#‘𝐵) ∈ (1..^5) ↔ ((#‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (#‘𝐵) = 4))
44 df-4 10928 . . . . . . . . . . 11 4 = (3 + 1)
4544oveq2i 6538 . . . . . . . . . 10 (1..^4) = (1..^(3 + 1))
4645eleq2i 2679 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐵) ∈ (1..^4) ↔ (#‘𝐵) ∈ (1..^(3 + 1)))
47 3nn 11033 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
4847, 20eleqtri 2685 . . . . . . . . . 10 3 ∈ (ℤ‘1)
49 fzosplitsni 12399 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ (ℤ‘1) → ((#‘𝐵) ∈ (1..^(3 + 1)) ↔ ((#‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (#‘𝐵) = 3)))
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐵) ∈ (1..^(3 + 1)) ↔ ((#‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (#‘𝐵) = 3))
5146, 50bitri 262 . . . . . . . 8 ((#‘𝐵) ∈ (1..^4) ↔ ((#‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (#‘𝐵) = 3))
52 df-3 10927 . . . . . . . . . . . . 13 3 = (2 + 1)
5352oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . 12 (1..^3) = (1..^(2 + 1))
5453eleq2i 2679 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐵) ∈ (1..^3) ↔ (#‘𝐵) ∈ (1..^(2 + 1)))
55 2eluzge1 11566 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ (ℤ‘1)
56 fzosplitsni 12399 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ (ℤ‘1) → ((#‘𝐵) ∈ (1..^(2 + 1)) ↔ ((#‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (#‘𝐵) = 2)))
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐵) ∈ (1..^(2 + 1)) ↔ ((#‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (#‘𝐵) = 2))
5854, 57bitri 262 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐵) ∈ (1..^3) ↔ ((#‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (#‘𝐵) = 2))
59 elsni 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝐵) ∈ {1} → (#‘𝐵) = 1)
60 fzo12sn 12373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1..^2) = {1}
6159, 60eleq2s 2705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝐵) ∈ (1..^2) → (#‘𝐵) = 1)
6261adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ (1..^2)) → (#‘𝐵) = 1)
63 hash1 13005 . . . . . . . . . . . . . . 15 (#‘1𝑜) = 1
6462, 63syl6eqr 2661 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ (1..^2)) → (#‘𝐵) = (#‘1𝑜))
65 1nn0 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℕ0
6662, 65syl6eqel 2695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ (1..^2)) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
67 hashclb 12963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0))
689, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
6966, 68sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ (1..^2)) → 𝐵 ∈ Fin)
70 1onn 7583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1𝑜 ∈ ω
71 nnfi 8015 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1𝑜 ∈ ω → 1𝑜 ∈ Fin)
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 1𝑜 ∈ Fin
73 hashen 12949 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 1𝑜 ∈ Fin) → ((#‘𝐵) = (#‘1𝑜) ↔ 𝐵 ≈ 1𝑜))
7469, 72, 73sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ (1..^2)) → ((#‘𝐵) = (#‘1𝑜) ↔ 𝐵 ≈ 1𝑜))
7564, 74mpbid 220 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ (1..^2)) → 𝐵 ≈ 1𝑜)
7610cyg 18063 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐺 ∈ CycGrp)
77 cygabl 18061 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ Abel)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐺 ∈ Abel)
7975, 78syldan 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ (1..^2)) → 𝐺 ∈ Abel)
8079ex 448 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → ((#‘𝐵) ∈ (1..^2) → 𝐺 ∈ Abel))
81 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝐵) = 2 → (#‘𝐵) = 2)
82 2prm 15189 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℙ
8381, 82syl6eqel 2695 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝐵) = 2 → (#‘𝐵) ∈ ℙ)
841prmcyg 18064 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ CycGrp)
8584, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ Abel)
8685ex 448 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Grp → ((#‘𝐵) ∈ ℙ → 𝐺 ∈ Abel))
8783, 86syl5 33 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → ((#‘𝐵) = 2 → 𝐺 ∈ Abel))
8880, 87jaod 393 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → (((#‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (#‘𝐵) = 2) → 𝐺 ∈ Abel))
8958, 88syl5bi 230 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → ((#‘𝐵) ∈ (1..^3) → 𝐺 ∈ Abel))
90 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐵) = 3 → (#‘𝐵) = 3)
91 3prm 15190 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℙ
9290, 91syl6eqel 2695 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐵) = 3 → (#‘𝐵) ∈ ℙ)
9392, 86syl5 33 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → ((#‘𝐵) = 3 → 𝐺 ∈ Abel))
9489, 93jaod 393 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → (((#‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (#‘𝐵) = 3) → 𝐺 ∈ Abel))
9551, 94syl5bi 230 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → ((#‘𝐵) ∈ (1..^4) → 𝐺 ∈ Abel))
96 simpl 471 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) → 𝐺 ∈ Grp)
97 2z 11242 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
98 eqid 2609 . . . . . . . . . . . 12 (gEx‘𝐺) = (gEx‘𝐺)
99 eqid 2609 . . . . . . . . . . . 12 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
1001, 98, 99gexdvds2 17769 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 2 ∈ ℤ) → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 ↔ ∀𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
10196, 97, 100sylancl 692 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 ↔ ∀𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
1021, 98gex2abl 18023 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (gEx‘𝐺) ∥ 2) → 𝐺 ∈ Abel)
103102ex 448 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
104103adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
105101, 104sylbird 248 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) → (∀𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
106 rexnal 2977 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥𝐵 ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 ↔ ¬ ∀𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)
10796adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐺 ∈ Grp)
108 simprl 789 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝑥𝐵)
1091, 99odcl 17724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐵 → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
110109ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
111 4nn0 11158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ ℕ0
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 4 ∈ ℕ0)
113 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) → (#‘𝐵) = 4)
114113, 111syl6eqel 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
115114, 68sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) → 𝐵 ∈ Fin)
116115adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐵 ∈ Fin)
1171, 99oddvds2 17752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (#‘𝐵))
118107, 116, 108, 117syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (#‘𝐵))
119113adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (#‘𝐵) = 4)
120118, 119breqtrd 4603 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4)
121 sq2 12777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2↑2) = 4
12297a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 2 ∈ ℤ)
123 2nn0 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℕ0
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 2 ∈ ℕ0)
1251, 99odcl2 17751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
126107, 116, 108, 125syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
127 pccl 15338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0)
12882, 126, 127sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0)
129128nn0zd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℤ)
130 df-2 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 = (1 + 1)
131 simprr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)
132 dvdsexp 14833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((2 ∈ ℤ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ (ℤ‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1))
1331323expia 1258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((2 ∈ ℤ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0) → (1 ∈ (ℤ‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1)))
13497, 128, 133sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 ∈ (ℤ‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1)))
135 1z 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ ℤ
136 eluz 11533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 ∈ (ℤ‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ↔ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
137129, 135, 136sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 ∈ (ℤ‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ↔ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
138 oveq2 6535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 = 2 → (2↑𝑛) = (2↑2))
139138, 121syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑛 = 2 → (2↑𝑛) = 4)
140139breq2d 4589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 = 2 → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4))
141140rspcev 3281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((2 ∈ ℕ0 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛))
142123, 120, 141sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛))
143 pcprmpw2 15370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((2 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
14482, 126, 143sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
145142, 144mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
146145eqcomd 2615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) = ((od‘𝐺)‘𝑥))
147 2cn 10938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℂ
148 exp1 12683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
149147, 148ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (2↑1) = 2
150149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2↑1) = 2)
151146, 150breq12d 4590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
152134, 137, 1513imtr3d 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1 → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
153131, 152mtod 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ¬ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1)
154 1re 9895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℝ
155128nn0red 11199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
156 ltnle 9968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 ∈ ℝ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ ¬ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
157154, 155, 156sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ ¬ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
158153, 157mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))
159 nn0ltp1le 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℕ0 ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ (1 + 1) ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
16065, 128, 159sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ (1 + 1) ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
161158, 160mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 + 1) ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))
162130, 161syl5eqbr 4612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 2 ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))
163 eluz2 11525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
164122, 129, 162, 163syl3anbrc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (ℤ‘2))
165 dvdsexp 14833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (ℤ‘2)) → (2↑2) ∥ (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
166122, 124, 164, 165syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2↑2) ∥ (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
167121, 166syl5eqbrr 4613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 4 ∥ (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
168167, 145breqtrrd 4605 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 4 ∥ ((od‘𝐺)‘𝑥))
169 dvdseq 14820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) ∧ (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4 ∧ 4 ∥ ((od‘𝐺)‘𝑥))) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = 4)
170110, 112, 120, 168, 169syl22anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = 4)
171170, 119eqtr4d 2646 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = (#‘𝐵))
1721, 99, 107, 108, 171iscygodd 18059 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐺 ∈ CycGrp)
173172, 77syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐺 ∈ Abel)
174173rexlimdvaa 3013 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) → (∃𝑥𝐵 ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
175106, 174syl5bir 231 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) → (¬ ∀𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
176105, 175pm2.61d 168 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) → 𝐺 ∈ Abel)
177176ex 448 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → ((#‘𝐵) = 4 → 𝐺 ∈ Abel))
17895, 177jaod 393 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (((#‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (#‘𝐵) = 4) → 𝐺 ∈ Abel))
17943, 178syl5bi 230 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → ((#‘𝐵) ∈ (1..^5) → 𝐺 ∈ Abel))
180 id 22 . . . . . . 7 ((#‘𝐵) = 5 → (#‘𝐵) = 5)
181 5prm 15599 . . . . . . 7 5 ∈ ℙ
182180, 181syl6eqel 2695 . . . . . 6 ((#‘𝐵) = 5 → (#‘𝐵) ∈ ℙ)
183182, 86syl5 33 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → ((#‘𝐵) = 5 → 𝐺 ∈ Abel))
184179, 183jaod 393 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (((#‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (#‘𝐵) = 5) → 𝐺 ∈ Abel))
18535, 184syl5bi 230 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ((#‘𝐵) ∈ (1..^6) → 𝐺 ∈ Abel))
186185imp 443 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ (1..^6)) → 𝐺 ∈ Abel)
18727, 186syldan 485 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) < 6) → 𝐺 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  Vcvv 3172  c0 3873  {csn 4124   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  ωcom 6934  1𝑜c1o 7417  cen 7815  Fincfn 7818  cc 9790  cr 9791  1c1 9793   + caddc 9795  +∞cpnf 9927  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  cn 10867  2c2 10917  3c3 10918  4c4 10919  5c5 10920  6c6 10921  0cn0 11139  cz 11210  cuz 11519  ..^cfzo 12289  cexp 12677  #chash 12934  cdvds 14767  cprime 15169   pCnt cpc 15325  Basecbs 15641  Grpcgrp 17191  odcod 17713  gExcgex 17714  Abelcabl 17963  CycGrpccyg 18048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-disj 4548  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-omul 7429  df-er 7606  df-ec 7608  df-qs 7612  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-acn 8628  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-sum 14211  df-dvds 14768  df-gcd 15001  df-prm 15170  df-pc 15326  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-0g 15871  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-mulg 17310  df-subg 17360  df-eqg 17362  df-od 17717  df-gex 17718  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-cyg 18049
This theorem is referenced by:  pgrple2abl  41935
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