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Theorem lt6abl 18342
Description: A group with fewer than 6 elements is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
cygctb.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lt6abl ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) < 6) → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem lt6abl
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
21grpbn0 17498 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
32adantr 480 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) < 6) → 𝐵 ≠ ∅)
4 6re 11139 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
5 rexr 10123 . . . . . . . 8 (6 ∈ ℝ → 6 ∈ ℝ*)
6 pnfnlt 12000 . . . . . . . 8 (6 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 6)
74, 5, 6mp2b 10 . . . . . . 7 ¬ +∞ < 6
8 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝐺) ∈ V
91, 8eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ∈ V
109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ V)
11 hashinf 13162 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐵) = +∞)
1210, 11sylan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐵) = +∞)
1312breq1d 4695 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐵) < 6 ↔ +∞ < 6))
1413biimpd 219 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐵) < 6 → +∞ < 6))
1514impancom 455 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) < 6) → (¬ 𝐵 ∈ Fin → +∞ < 6))
167, 15mt3i 141 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) < 6) → 𝐵 ∈ Fin)
17 hashnncl 13195 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin → ((#‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
1816, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) < 6) → ((#‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
193, 18mpbird 247 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) < 6) → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
20 nnuz 11761 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2119, 20syl6eleq 2740 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) < 6) → (#‘𝐵) ∈ (ℤ‘1))
22 6nn 11227 . . . . 5 6 ∈ ℕ
2322nnzi 11439 . . . 4 6 ∈ ℤ
2423a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) < 6) → 6 ∈ ℤ)
25 simpr 476 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) < 6) → (#‘𝐵) < 6)
26 elfzo2 12512 . . 3 ((#‘𝐵) ∈ (1..^6) ↔ ((#‘𝐵) ∈ (ℤ‘1) ∧ 6 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) < 6))
2721, 24, 25, 26syl3anbrc 1265 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) < 6) → (#‘𝐵) ∈ (1..^6))
28 df-6 11121 . . . . . . 7 6 = (5 + 1)
2928oveq2i 6701 . . . . . 6 (1..^6) = (1..^(5 + 1))
3029eleq2i 2722 . . . . 5 ((#‘𝐵) ∈ (1..^6) ↔ (#‘𝐵) ∈ (1..^(5 + 1)))
31 5nn 11226 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ
3231, 20eleqtri 2728 . . . . . 6 5 ∈ (ℤ‘1)
33 fzosplitsni 12619 . . . . . 6 (5 ∈ (ℤ‘1) → ((#‘𝐵) ∈ (1..^(5 + 1)) ↔ ((#‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (#‘𝐵) = 5)))
3432, 33ax-mp 5 . . . . 5 ((#‘𝐵) ∈ (1..^(5 + 1)) ↔ ((#‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (#‘𝐵) = 5))
3530, 34bitri 264 . . . 4 ((#‘𝐵) ∈ (1..^6) ↔ ((#‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (#‘𝐵) = 5))
36 df-5 11120 . . . . . . . . 9 5 = (4 + 1)
3736oveq2i 6701 . . . . . . . 8 (1..^5) = (1..^(4 + 1))
3837eleq2i 2722 . . . . . . 7 ((#‘𝐵) ∈ (1..^5) ↔ (#‘𝐵) ∈ (1..^(4 + 1)))
39 4nn 11225 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ
4039, 20eleqtri 2728 . . . . . . . 8 4 ∈ (ℤ‘1)
41 fzosplitsni 12619 . . . . . . . 8 (4 ∈ (ℤ‘1) → ((#‘𝐵) ∈ (1..^(4 + 1)) ↔ ((#‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (#‘𝐵) = 4)))
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . 7 ((#‘𝐵) ∈ (1..^(4 + 1)) ↔ ((#‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (#‘𝐵) = 4))
4338, 42bitri 264 . . . . . 6 ((#‘𝐵) ∈ (1..^5) ↔ ((#‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (#‘𝐵) = 4))
44 df-4 11119 . . . . . . . . . . 11 4 = (3 + 1)
4544oveq2i 6701 . . . . . . . . . 10 (1..^4) = (1..^(3 + 1))
4645eleq2i 2722 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐵) ∈ (1..^4) ↔ (#‘𝐵) ∈ (1..^(3 + 1)))
47 3nn 11224 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
4847, 20eleqtri 2728 . . . . . . . . . 10 3 ∈ (ℤ‘1)
49 fzosplitsni 12619 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ (ℤ‘1) → ((#‘𝐵) ∈ (1..^(3 + 1)) ↔ ((#‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (#‘𝐵) = 3)))
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐵) ∈ (1..^(3 + 1)) ↔ ((#‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (#‘𝐵) = 3))
5146, 50bitri 264 . . . . . . . 8 ((#‘𝐵) ∈ (1..^4) ↔ ((#‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (#‘𝐵) = 3))
52 df-3 11118 . . . . . . . . . . . . 13 3 = (2 + 1)
5352oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . 12 (1..^3) = (1..^(2 + 1))
5453eleq2i 2722 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐵) ∈ (1..^3) ↔ (#‘𝐵) ∈ (1..^(2 + 1)))
55 2eluzge1 11772 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ (ℤ‘1)
56 fzosplitsni 12619 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ (ℤ‘1) → ((#‘𝐵) ∈ (1..^(2 + 1)) ↔ ((#‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (#‘𝐵) = 2)))
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐵) ∈ (1..^(2 + 1)) ↔ ((#‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (#‘𝐵) = 2))
5854, 57bitri 264 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐵) ∈ (1..^3) ↔ ((#‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (#‘𝐵) = 2))
59 elsni 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝐵) ∈ {1} → (#‘𝐵) = 1)
60 fzo12sn 12591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1..^2) = {1}
6159, 60eleq2s 2748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝐵) ∈ (1..^2) → (#‘𝐵) = 1)
6261adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ (1..^2)) → (#‘𝐵) = 1)
63 hash1 13230 . . . . . . . . . . . . . . 15 (#‘1𝑜) = 1
6462, 63syl6eqr 2703 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ (1..^2)) → (#‘𝐵) = (#‘1𝑜))
65 1nn0 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℕ0
6662, 65syl6eqel 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ (1..^2)) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
67 hashclb 13187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0))
689, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
6966, 68sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ (1..^2)) → 𝐵 ∈ Fin)
70 1onn 7764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1𝑜 ∈ ω
71 nnfi 8194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1𝑜 ∈ ω → 1𝑜 ∈ Fin)
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 1𝑜 ∈ Fin
73 hashen 13175 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 1𝑜 ∈ Fin) → ((#‘𝐵) = (#‘1𝑜) ↔ 𝐵 ≈ 1𝑜))
7469, 72, 73sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ (1..^2)) → ((#‘𝐵) = (#‘1𝑜) ↔ 𝐵 ≈ 1𝑜))
7564, 74mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ (1..^2)) → 𝐵 ≈ 1𝑜)
7610cyg 18340 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐺 ∈ CycGrp)
77 cygabl 18338 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ Abel)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐺 ∈ Abel)
7975, 78syldan 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ (1..^2)) → 𝐺 ∈ Abel)
8079ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → ((#‘𝐵) ∈ (1..^2) → 𝐺 ∈ Abel))
81 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝐵) = 2 → (#‘𝐵) = 2)
82 2prm 15452 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℙ
8381, 82syl6eqel 2738 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝐵) = 2 → (#‘𝐵) ∈ ℙ)
841prmcyg 18341 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ CycGrp)
8584, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ Abel)
8685ex 449 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Grp → ((#‘𝐵) ∈ ℙ → 𝐺 ∈ Abel))
8783, 86syl5 34 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → ((#‘𝐵) = 2 → 𝐺 ∈ Abel))
8880, 87jaod 394 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → (((#‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (#‘𝐵) = 2) → 𝐺 ∈ Abel))
8958, 88syl5bi 232 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → ((#‘𝐵) ∈ (1..^3) → 𝐺 ∈ Abel))
90 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐵) = 3 → (#‘𝐵) = 3)
91 3prm 15453 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℙ
9290, 91syl6eqel 2738 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐵) = 3 → (#‘𝐵) ∈ ℙ)
9392, 86syl5 34 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → ((#‘𝐵) = 3 → 𝐺 ∈ Abel))
9489, 93jaod 394 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → (((#‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (#‘𝐵) = 3) → 𝐺 ∈ Abel))
9551, 94syl5bi 232 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → ((#‘𝐵) ∈ (1..^4) → 𝐺 ∈ Abel))
96 simpl 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) → 𝐺 ∈ Grp)
97 2z 11447 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
98 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (gEx‘𝐺) = (gEx‘𝐺)
99 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
1001, 98, 99gexdvds2 18046 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 2 ∈ ℤ) → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 ↔ ∀𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
10196, 97, 100sylancl 695 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 ↔ ∀𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
1021, 98gex2abl 18300 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (gEx‘𝐺) ∥ 2) → 𝐺 ∈ Abel)
103102ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
104103adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
105101, 104sylbird 250 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) → (∀𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
106 rexnal 3024 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥𝐵 ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 ↔ ¬ ∀𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)
10796adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐺 ∈ Grp)
108 simprl 809 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝑥𝐵)
1091, 99odcl 18001 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐵 → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
110109ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
111 4nn0 11349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ ℕ0
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 4 ∈ ℕ0)
113 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) → (#‘𝐵) = 4)
114113, 111syl6eqel 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
115114, 68sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) → 𝐵 ∈ Fin)
116115adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐵 ∈ Fin)
1171, 99oddvds2 18029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (#‘𝐵))
118107, 116, 108, 117syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (#‘𝐵))
119113adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (#‘𝐵) = 4)
120118, 119breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4)
121 sq2 13000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2↑2) = 4
12297a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 2 ∈ ℤ)
123 2nn0 11347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℕ0
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 2 ∈ ℕ0)
1251, 99odcl2 18028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
126107, 116, 108, 125syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
127 pccl 15601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0)
12882, 126, 127sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0)
129128nn0zd 11518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℤ)
130 df-2 11117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 = (1 + 1)
131 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)
132 dvdsexp 15096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((2 ∈ ℤ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ (ℤ‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1))
1331323expia 1286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((2 ∈ ℤ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0) → (1 ∈ (ℤ‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1)))
13497, 128, 133sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 ∈ (ℤ‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1)))
135 1z 11445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ ℤ
136 eluz 11739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 ∈ (ℤ‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ↔ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
137129, 135, 136sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 ∈ (ℤ‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ↔ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
138 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 = 2 → (2↑𝑛) = (2↑2))
139138, 121syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑛 = 2 → (2↑𝑛) = 4)
140139breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 = 2 → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4))
141140rspcev 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((2 ∈ ℕ0 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛))
142123, 120, 141sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛))
143 pcprmpw2 15633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((2 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
14482, 126, 143sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
145142, 144mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
146145eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) = ((od‘𝐺)‘𝑥))
147 2cn 11129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℂ
148 exp1 12906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
149147, 148ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (2↑1) = 2
150149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2↑1) = 2)
151146, 150breq12d 4698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
152134, 137, 1513imtr3d 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1 → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
153131, 152mtod 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ¬ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1)
154 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℝ
155128nn0red 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
156 ltnle 10155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 ∈ ℝ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ ¬ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
157154, 155, 156sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ ¬ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
158153, 157mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))
159 nn0ltp1le 11473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℕ0 ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ (1 + 1) ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
16065, 128, 159sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ (1 + 1) ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
161158, 160mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 + 1) ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))
162130, 161syl5eqbr 4720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 2 ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))
163 eluz2 11731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
164122, 129, 162, 163syl3anbrc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (ℤ‘2))
165 dvdsexp 15096 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (ℤ‘2)) → (2↑2) ∥ (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
166122, 124, 164, 165syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2↑2) ∥ (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
167121, 166syl5eqbrr 4721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 4 ∥ (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
168167, 145breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 4 ∥ ((od‘𝐺)‘𝑥))
169 dvdseq 15083 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) ∧ (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4 ∧ 4 ∥ ((od‘𝐺)‘𝑥))) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = 4)
170110, 112, 120, 168, 169syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = 4)
171170, 119eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = (#‘𝐵))
1721, 99, 107, 108, 171iscygodd 18336 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐺 ∈ CycGrp)
173172, 77syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐺 ∈ Abel)
174173rexlimdvaa 3061 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) → (∃𝑥𝐵 ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
175106, 174syl5bir 233 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) → (¬ ∀𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
176105, 175pm2.61d 170 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) = 4) → 𝐺 ∈ Abel)
177176ex 449 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → ((#‘𝐵) = 4 → 𝐺 ∈ Abel))
17895, 177jaod 394 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (((#‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (#‘𝐵) = 4) → 𝐺 ∈ Abel))
17943, 178syl5bi 232 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → ((#‘𝐵) ∈ (1..^5) → 𝐺 ∈ Abel))
180 id 22 . . . . . . 7 ((#‘𝐵) = 5 → (#‘𝐵) = 5)
181 5prm 15862 . . . . . . 7 5 ∈ ℙ
182180, 181syl6eqel 2738 . . . . . 6 ((#‘𝐵) = 5 → (#‘𝐵) ∈ ℙ)
183182, 86syl5 34 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → ((#‘𝐵) = 5 → 𝐺 ∈ Abel))
184179, 183jaod 394 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (((#‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (#‘𝐵) = 5) → 𝐺 ∈ Abel))
18535, 184syl5bi 232 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ((#‘𝐵) ∈ (1..^6) → 𝐺 ∈ Abel))
186185imp 444 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ (1..^6)) → 𝐺 ∈ Abel)
18727, 186syldan 486 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) < 6) → 𝐺 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  ωcom 7107  1𝑜c1o 7598  cen 7994  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977  +∞cpnf 10109  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cn 11058  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  5c5 11111  6c6 11112  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ..^cfzo 12504  cexp 12900  #chash 13157  cdvds 15027  cprime 15432   pCnt cpc 15588  Basecbs 15904  Grpcgrp 17469  odcod 17990  gExcgex 17991  Abelcabl 18240  CycGrpccyg 18325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-ec 7789  df-qs 7793  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-eqg 17640  df-od 17994  df-gex 17995  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-cyg 18326
This theorem is referenced by:  pgrple2abl  42471
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