MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaddpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltaddpos 11118
Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
ltaddpos ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴𝐵 < (𝐵 + 𝐴)))

Proof of Theorem ltaddpos
StepHypRef Expression
1 0re 10631 . . 3 0 ∈ ℝ
2 ltadd2 10732 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 0) < (𝐵 + 𝐴)))
31, 2mp3an1 1439 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 0) < (𝐵 + 𝐴)))
4 recn 10615 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
54addid1d 10828 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
65adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
76breq1d 5067 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 0) < (𝐵 + 𝐴) ↔ 𝐵 < (𝐵 + 𝐴)))
83, 7bitrd 280 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴𝐵 < (𝐵 + 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525   + caddc 10528   < clt 10663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-ltxr 10668
This theorem is referenced by:  ltaddpos2  11119  ltsubpos  11120  posdif  11121  ltaddposi  11177  ltaddposd  11212  ltp1  11468  recreclt  11527  ltaddrp  12414  ccatval21sw  13927  ltoddhalfle  15698  dirkercncflem1  42265
  Copyright terms: Public domain W3C validator