Theorem ltaddpq 5091

Description: The sum of two fractions is greater than one of them.

Hypotheses

Ref	Expression
ltaddpq.1	⊢ A ∈ V
ltaddpq.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ltaddpq	⊢ ((A ∈ Q ⋀ B ∈ Q) → A <Q (A +Q B))

Proof of Theorem ltaddpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltaddpq.2	. . . . . 6 ⊢ B ∈ V
2		oprex 3989	. . . . . 6 ⊢ (B +Q B) ∈ V
3	1, 2	ltapq 5088	. . . . 5 ⊢ (A ∈ Q → (B <Q (B +Q B) ↔ (A +Q B) <Q (A +Q (B +Q B))))
4		1lt2pq 5090	. . . . . . 7 ⊢ 1Q <Q (1Q +Q 1Q)
5		1q 5069	. . . . . . . . 9 ⊢ 1Q ∈ Q
6	5	elisseti 1821	. . . . . . . 8 ⊢ 1Q ∈ V
7		oprex 3989	. . . . . . . 8 ⊢ (1Q +Q 1Q) ∈ V
8	6, 7	ltmpq 5089	. . . . . . 7 ⊢ (B ∈ Q → (1Q <Q (1Q +Q 1Q) ↔ (B ·Q 1Q) <Q (B ·Q (1Q +Q 1Q))))
9	4, 8	mpbii 193	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ Q → (B ·Q 1Q) <Q (B ·Q (1Q +Q 1Q)))
10		mulidpq 5081	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ Q → (B ·Q 1Q) = B)
11	10, 10	opreq12d 3984	. . . . . . 7 ⊢ (B ∈ Q → ((B ·Q 1Q) +Q (B ·Q 1Q)) = (B +Q B))
12	6, 6	distrpq 5079	. . . . . . 7 ⊢ (B ·Q (1Q +Q 1Q)) = ((B ·Q 1Q) +Q (B ·Q 1Q))
13	11, 12	syl5eq 1522	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ Q → (B ·Q (1Q +Q 1Q)) = (B +Q B))
14	9, 10, 13	3brtr3d 2649	. . . . 5 ⊢ (B ∈ Q → B <Q (B +Q B))
15	3, 14	syl5bi 208	. . . 4 ⊢ (A ∈ Q → (B ∈ Q → (A +Q B) <Q (A +Q (B +Q B))))
16		ltaddpq.1	. . . . . 6 ⊢ A ∈ V
17	1, 16	addcompq 5074	. . . . 5 ⊢ (B +Q A) = (A +Q B)
18		oprex 3989	. . . . . . 7 ⊢ (A +Q B) ∈ V
19	1, 18	addcompq 5074	. . . . . 6 ⊢ (B +Q (A +Q B)) = ((A +Q B) +Q B)
20	1, 1	addasspq 5075	. . . . . 6 ⊢ ((A +Q B) +Q B) = (A +Q (B +Q B))
21	19, 20	eqtr 1498	. . . . 5 ⊢ (B +Q (A +Q B)) = (A +Q (B +Q B))
22	17, 21	breq12i 2633	. . . 4 ⊢ ((B +Q A) <Q (B +Q (A +Q B)) ↔ (A +Q B) <Q (A +Q (B +Q B)))
23	15, 22	syl6ibr 213	. . 3 ⊢ (A ∈ Q → (B ∈ Q → (B +Q A) <Q (B +Q (A +Q B))))
24	23	imp 350	. 2 ⊢ ((A ∈ Q ⋀ B ∈ Q) → (B +Q A) <Q (B +Q (A +Q B)))
25	16, 18	ltapq 5088	. . 3 ⊢ (B ∈ Q → (A <Q (A +Q B) ↔ (B +Q A) <Q (B +Q (A +Q B))))
26	25	adantl 390	. 2 ⊢ ((A ∈ Q ⋀ B ∈ Q) → (A <Q (A +Q B) ↔ (B +Q A) <Q (B +Q (A +Q B))))
27	24, 26	mpbird 196	1 ⊢ ((A ∈ Q ⋀ B ∈ Q) → A <Q (A +Q B))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ∈ wcel 960  Vcvv 1814   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  Qcnq 4991  1_Qc1q 4992   +_Q cplq 4993   ·_Q cmq 4994   <_Q cltq 4996

This theorem is referenced by:  ltexpq 5092  nsmallpq 5095  ltbtwnpq 5096  prlem934 5151  ltaddpr 5152  ltexprlem2 5155  ltexprlem4 5157

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-ltq 5054  df-1q 5055

Copyright terms: Public domain