MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaddpr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltaddpr2 9713
Description: The sum of two positive reals is greater than one of them. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltaddpr2 (𝐶P → ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶𝐴<P 𝐶))

Proof of Theorem ltaddpr2
StepHypRef Expression
1 eleq1 2675 . . . 4 ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶 → ((𝐴 +P 𝐵) ∈ P𝐶P))
2 dmplp 9690 . . . . 5 dom +P = (P × P)
3 0npr 9670 . . . . 5 ¬ ∅ ∈ P
42, 3ndmovrcl 6695 . . . 4 ((𝐴 +P 𝐵) ∈ P → (𝐴P𝐵P))
51, 4syl6bir 242 . . 3 ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶 → (𝐶P → (𝐴P𝐵P)))
6 ltaddpr 9712 . . . 4 ((𝐴P𝐵P) → 𝐴<P (𝐴 +P 𝐵))
7 breq2 4581 . . . 4 ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶 → (𝐴<P (𝐴 +P 𝐵) ↔ 𝐴<P 𝐶))
86, 7syl5ib 232 . . 3 ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶 → ((𝐴P𝐵P) → 𝐴<P 𝐶))
95, 8syld 45 . 2 ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶 → (𝐶P𝐴<P 𝐶))
109com12 32 1 (𝐶P → ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶𝐴<P 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4577  (class class class)co 6526  Pcnp 9537   +P cpp 9539  <P cltp 9541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-omul 7429  df-er 7606  df-ni 9550  df-pli 9551  df-mi 9552  df-lti 9553  df-plpq 9586  df-mpq 9587  df-ltpq 9588  df-enq 9589  df-nq 9590  df-erq 9591  df-plq 9592  df-mq 9593  df-1nq 9594  df-rq 9595  df-ltnq 9596  df-np 9659  df-plp 9661  df-ltp 9663
This theorem is referenced by:  mulgt0sr  9782
  Copyright terms: Public domain W3C validator