MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaddrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltaddrp 11811
Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
ltaddrp ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrp
StepHypRef Expression
1 elrp 11778 . 2 (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
2 ltaddpos 10463 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵𝐴 < (𝐴 + 𝐵)))
32biimpd 219 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵𝐴 < (𝐴 + 𝐵)))
43expcom 451 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵𝐴 < (𝐴 + 𝐵))))
54imp32 449 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
61, 5sylan2b 492 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1992   class class class wbr 4618  (class class class)co 6605  cr 9880  0cc0 9881   + caddc 9884   < clt 10019  +crp 11776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-ltxr 10024  df-rp 11777
This theorem is referenced by:  ltaddrpd  11849  lswccatn0lsw  13307  efgt1  14766  efgsfo  18068  efgredlemd  18073  efgredlem  18076  iccntr  22527  reconnlem2  22533  opnreen  22537  minveclem3b  23102  logimul  24259  emcllem2  24618  emcllem4  24620  emcllem6  24622  perfectlem2  24850  bclbnd  24900  pntibndlem1  25173  pntlemd  25178  pntlemc  25179  pntlemr  25186  pntlemp  25194  smcnlem  27392  ballotlem2  30323  poimir  33060  stoweidlem59  39570  perfectALTVlem2  40914
  Copyright terms: Public domain W3C validator