MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaddrpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltaddrpd 12118
Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
ltaddrpd (𝜑𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 rpgecld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
3 ltaddrp 12080 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
41, 2, 3syl2anc 696 1 (𝜑𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  cr 10147   + caddc 10151   < clt 10286  +crp 12045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-ltxr 10291  df-rp 12046
This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  12119  xov1plusxeqvd  12531  isumltss  14799  effsumlt  15060  tanhlt1  15109  4sqlem12  15882  vdwlem1  15907  chfacfscmul0  20885  chfacfpmmul0  20889  nlmvscnlem2  22710  nlmvscnlem1  22711  iccntr  22845  icccmplem2  22847  reconnlem2  22851  lebnumii  22986  ipcnlem2  23263  ipcnlem1  23264  ivthlem2  23441  ovolgelb  23468  ovollb2lem  23476  itg2monolem3  23738  dvferm1lem  23966  lhop1lem  23995  lhop  23998  dvcnvrelem1  23999  dvcnvrelem2  24000  pserdvlem1  24400  pserdv  24402  lgamgulmlem2  24976  lgamgulmlem3  24977  lgamucov  24984  perfectlem2  25175  bposlem2  25230  pntibndlem2  25500  pntlemb  25506  pntlem3  25518  tpr2rico  30288  omssubaddlem  30691  fibp1  30793  heicant  33775  itg2addnc  33795  rrnequiv  33965  pellfundex  37970  rmspecfund  37994  acongeq  38070  jm3.1lem2  38105  oddfl  40006  infrpge  40083  xralrple2  40086  xrralrecnnle  40118  iooiinicc  40290  iooiinioc  40304  fsumnncl  40324  climinf  40359  lptre2pt  40393  ioodvbdlimc1lem2  40668  wallispilem4  40806  dirkertrigeqlem3  40838  dirkercncflem2  40842  fourierdlem63  40907  fourierdlem65  40909  fourierdlem75  40919  fourierdlem79  40923  fouriersw  40969  etransclem35  41007  qndenserrnbllem  41035  omeiunltfirp  41257  hoidmvlelem1  41333  hoidmvlelem3  41335  hoiqssbllem3  41362  iinhoiicc  41412  iunhoiioo  41414  vonioolem2  41419  vonicclem1  41421  preimaleiinlt  41455  smfmullem3  41524  perfectALTVlem2  42159
  Copyright terms: Public domain W3C validator