MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaddrpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltaddrpd 12454
Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
ltaddrpd (𝜑𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 rpgecld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
3 ltaddrp 12416 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
41, 2, 3syl2anc 584 1 (𝜑𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105   class class class wbr 5058  (class class class)co 7145  cr 10525   + caddc 10529   < clt 10664  +crp 12379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7148  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-rp 12380
This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  12455  xov1plusxeqvd  12874  isumltss  15193  effsumlt  15454  tanhlt1  15503  4sqlem12  16282  vdwlem1  16307  prmgaplem7  16383  chfacfscmul0  21396  chfacfpmmul0  21400  nlmvscnlem2  23223  nlmvscnlem1  23224  iccntr  23358  icccmplem2  23360  reconnlem2  23364  opnreen  23368  lebnumii  23499  ipcnlem2  23776  ipcnlem1  23777  ivthlem2  23982  ovolgelb  24010  ovollb2lem  24018  itg2monolem3  24282  dvferm1lem  24510  lhop1lem  24539  lhop  24542  dvcnvrelem1  24543  dvcnvrelem2  24544  pserdvlem1  24944  pserdv  24946  lgamgulmlem2  25535  lgamgulmlem3  25536  lgamucov  25543  perfectlem2  25734  bposlem2  25789  pntibndlem2  26095  pntlemb  26101  pntlem3  26113  tpr2rico  31055  omssubaddlem  31457  fibp1  31559  heicant  34809  itg2addnc  34828  rrnequiv  34996  pellfundex  39363  rmspecfund  39386  acongeq  39460  jm3.1lem2  39495  oddfl  41423  infrpge  41499  xralrple2  41502  xrralrecnnle  41533  iooiinicc  41698  iooiinioc  41712  fsumnncl  41732  climinf  41767  lptre2pt  41801  ioodvbdlimc1lem2  42097  wallispilem4  42234  dirkertrigeqlem3  42266  dirkercncflem2  42270  fourierdlem63  42335  fourierdlem65  42337  fourierdlem75  42347  fourierdlem79  42351  fouriersw  42397  etransclem35  42435  qndenserrnbllem  42460  omeiunltfirp  42682  hoidmvlelem1  42758  hoidmvlelem3  42760  hoiqssbllem3  42787  iinhoiicc  42837  iunhoiioo  42839  vonioolem2  42844  vonicclem1  42846  preimaleiinlt  42880  smfmullem3  42949  perfectALTVlem2  43734
  Copyright terms: Public domain W3C validator