Theorem ltaddrpd 12467

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 12429	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5069  (class class class)co 7159  ℝcr 10539   + caddc 10543   < clt 10678  ℝ⁺crp 12392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-ltxr 10683  df-rp 12393

This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  12468  xov1plusxeqvd  12887  isumltss  15206  effsumlt  15467  tanhlt1  15516  4sqlem12  16295  vdwlem1  16320  prmgaplem7  16396  chfacfscmul0  21469  chfacfpmmul0  21473  nlmvscnlem2  23297  nlmvscnlem1  23298  iccntr  23432  icccmplem2  23434  reconnlem2  23438  opnreen  23442  lebnumii  23573  ipcnlem2  23850  ipcnlem1  23851  ivthlem2  24056  ovolgelb  24084  ovollb2lem  24092  itg2monolem3  24356  dvferm1lem  24584  lhop1lem  24613  lhop  24616  dvcnvrelem1  24617  dvcnvrelem2  24618  pserdvlem1  25018  pserdv  25020  lgamgulmlem2  25610  lgamgulmlem3  25611  lgamucov  25618  perfectlem2  25809  bposlem2  25864  pntibndlem2  26170  pntlemb  26176  pntlem3  26188  tpr2rico  31159  omssubaddlem  31561  fibp1  31663  heicant  34931  itg2addnc  34950  rrnequiv  35117  pellfundex  39489  rmspecfund  39512  acongeq  39586  jm3.1lem2  39621  oddfl  41549  infrpge  41625  xralrple2  41628  xrralrecnnle  41659  iooiinicc  41824  iooiinioc  41838  fsumnncl  41858  climinf  41893  lptre2pt  41927  ioodvbdlimc1lem2  42223  wallispilem4  42360  dirkertrigeqlem3  42392  dirkercncflem2  42396  fourierdlem63  42461  fourierdlem65  42463  fourierdlem75  42473  fourierdlem79  42477  fouriersw  42523  etransclem35  42561  qndenserrnbllem  42586  omeiunltfirp  42808  hoidmvlelem1  42884  hoidmvlelem3  42886  hoiqssbllem3  42913  iinhoiicc  42963  iunhoiioo  42965  vonioolem2  42970  vonicclem1  42972  preimaleiinlt  43006  smfmullem3  43075  perfectALTVlem2  43894