MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaddrpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltaddrpd 11849
Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
ltaddrpd (𝜑𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 rpgecld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
3 ltaddrp 11811 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
41, 2, 3syl2anc 692 1 (𝜑𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  cr 9879   + caddc 9883   < clt 10018  +crp 11776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-ltxr 10023  df-rp 11777
This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  11850  xov1plusxeqvd  12260  isumltss  14505  effsumlt  14766  tanhlt1  14815  4sqlem12  15584  vdwlem1  15609  chfacfscmul0  20582  chfacfpmmul0  20586  nlmvscnlem2  22399  nlmvscnlem1  22400  iccntr  22532  icccmplem2  22534  reconnlem2  22538  lebnumii  22673  ipcnlem2  22951  ipcnlem1  22952  ivthlem2  23128  ovolgelb  23155  ovollb2lem  23163  itg2monolem3  23425  dvferm1lem  23651  lhop1lem  23680  lhop  23683  dvcnvrelem1  23684  dvcnvrelem2  23685  pserdvlem1  24085  pserdv  24087  lgamgulmlem2  24656  lgamgulmlem3  24657  lgamucov  24664  perfectlem2  24855  bposlem2  24910  pntibndlem2  25180  pntlemb  25186  pntlem3  25198  tpr2rico  29740  omssubaddlem  30142  fibp1  30244  heicant  33076  itg2addnc  33096  rrnequiv  33266  pellfundex  36930  rmspecfund  36954  acongeq  37030  jm3.1lem2  37065  oddfl  38953  infrpge  39031  xralrple2  39034  xrralrecnnle  39066  iooiinicc  39180  iooiinioc  39194  fsumnncl  39207  climinf  39242  lptre2pt  39276  ioodvbdlimc1lem2  39453  wallispilem4  39592  dirkertrigeqlem3  39624  dirkercncflem2  39628  fourierdlem63  39693  fourierdlem65  39695  fourierdlem75  39705  fourierdlem79  39709  fouriersw  39755  etransclem35  39793  qndenserrnbllem  39821  omeiunltfirp  40040  hoidmvlelem1  40116  hoidmvlelem3  40118  hoiqssbllem3  40145  iinhoiicc  40195  iunhoiioo  40197  vonioolem2  40202  vonicclem1  40204  preimaleiinlt  40238  smfmullem3  40307  perfectALTVlem2  40926
  Copyright terms: Public domain W3C validator