MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltapi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltapi 9838
Description: Ordering property of addition for positive integers. (Contributed by NM, 7-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltapi (𝐶N → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵)))

Proof of Theorem ltapi
StepHypRef Expression
1 dmaddpi 9825 . 2 dom +N = (N × N)
2 ltrelpi 9824 . 2 <N ⊆ (N × N)
3 0npi 9817 . 2 ¬ ∅ ∈ N
4 pinn 9813 . . . . . 6 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
5 pinn 9813 . . . . . 6 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
6 pinn 9813 . . . . . 6 (𝐶N𝐶 ∈ ω)
7 nnaord 7819 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 +𝑜 𝐴) ∈ (𝐶 +𝑜 𝐵)))
84, 5, 6, 7syl3an 1481 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 +𝑜 𝐴) ∈ (𝐶 +𝑜 𝐵)))
983expa 1111 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 +𝑜 𝐴) ∈ (𝐶 +𝑜 𝐵)))
10 ltpiord 9822 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴𝐵))
1110adantr 472 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴𝐵))
12 addclpi 9827 . . . . . . . 8 ((𝐶N𝐴N) → (𝐶 +N 𝐴) ∈ N)
13 addclpi 9827 . . . . . . . 8 ((𝐶N𝐵N) → (𝐶 +N 𝐵) ∈ N)
14 ltpiord 9822 . . . . . . . 8 (((𝐶 +N 𝐴) ∈ N ∧ (𝐶 +N 𝐵) ∈ N) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +N 𝐴) ∈ (𝐶 +N 𝐵)))
1512, 13, 14syl2an 495 . . . . . . 7 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +N 𝐴) ∈ (𝐶 +N 𝐵)))
16 addpiord 9819 . . . . . . . . 9 ((𝐶N𝐴N) → (𝐶 +N 𝐴) = (𝐶 +𝑜 𝐴))
1716adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → (𝐶 +N 𝐴) = (𝐶 +𝑜 𝐴))
18 addpiord 9819 . . . . . . . . 9 ((𝐶N𝐵N) → (𝐶 +N 𝐵) = (𝐶 +𝑜 𝐵))
1918adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → (𝐶 +N 𝐵) = (𝐶 +𝑜 𝐵))
2017, 19eleq12d 2797 . . . . . . 7 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → ((𝐶 +N 𝐴) ∈ (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +𝑜 𝐴) ∈ (𝐶 +𝑜 𝐵)))
2115, 20bitrd 268 . . . . . 6 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +𝑜 𝐴) ∈ (𝐶 +𝑜 𝐵)))
2221anandis 908 . . . . 5 ((𝐶N ∧ (𝐴N𝐵N)) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +𝑜 𝐴) ∈ (𝐶 +𝑜 𝐵)))
2322ancoms 468 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +𝑜 𝐴) ∈ (𝐶 +𝑜 𝐵)))
249, 11, 233bitr4d 300 . . 3 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵)))
25243impa 1100 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵)))
261, 2, 3, 25ndmovord 6941 1 (𝐶N → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103   class class class wbr 4760  (class class class)co 6765  ωcom 7182   +𝑜 coa 7677  Ncnpi 9779   +N cpli 9780   <N clti 9782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-oadd 7684  df-ni 9807  df-pli 9808  df-lti 9810
This theorem is referenced by:  ltanq  9906
  Copyright terms: Public domain W3C validator