Theorem ltbtwnpq 5096

Description: There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120.

Hypotheses

Ref	Expression
ltbtwnpq.1	⊢ A ∈ V
ltbtwnpq.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ltbtwnpq	⊢ (A <Q B → ∃x(A <Q x ⋀ x <Q B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem ltbtwnpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltbtwnpq.2	. . 3 ⊢ B ∈ V
2		ltrelpq 5063	. . 3 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
3	1, 2	brel 3229	. 2 ⊢ (A <Q B → (A ∈ Q ⋀ B ∈ Q))
4		ltbtwnpq.1	. . . 4 ⊢ A ∈ V
5	4	ltexpq 5092	. . 3 ⊢ ((A ∈ Q ⋀ B ∈ Q) → (A <Q B ↔ ∃y(A +Q y) = B))
6		eleq1 1537	. . . . . . . 8 ⊢ ((A +Q y) = B → ((A +Q y) ∈ Q ↔ B ∈ Q))
7		visset 1816	. . . . . . . . 9 ⊢ y ∈ V
8		dmaddpq 5071	. . . . . . . . 9 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
9		0npq 5062	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
10	7, 8, 9	ndmoprrcl 4052	. . . . . . . 8 ⊢ ((A +Q y) ∈ Q → (A ∈ Q ⋀ y ∈ Q))
11	6, 10	syl6bir 215	. . . . . . 7 ⊢ ((A +Q y) = B → (B ∈ Q → (A ∈ Q ⋀ y ∈ Q)))
12		halfpq 5094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ∈ Q → ∃z(z +Q z) = y)
13	12	adantl 390	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ Q ⋀ y ∈ Q) → ∃z(z +Q z) = y)
14		opreq2 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((z +Q z) = y → (A +Q (z +Q z)) = (A +Q y))
15	14	eqeq1d 1486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((z +Q z) = y → ((A +Q (z +Q z)) = B ↔ (A +Q y) = B))
16		breq2 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((A +Q (z +Q z)) = B → ((A +Q z) <Q (A +Q (z +Q z)) ↔ (A +Q z) <Q B))
17		oprex 3989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (A +Q z) ∈ V
18		visset 1816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ z ∈ V
19	17, 18	ltaddpq 5091	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((A +Q z) ∈ Q ⋀ z ∈ Q) → (A +Q z) <Q ((A +Q z) +Q z))
20	18, 18	addasspq 5075	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((A +Q z) +Q z) = (A +Q (z +Q z))
21	19, 20	syl6breq 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((A +Q z) ∈ Q ⋀ z ∈ Q) → (A +Q z) <Q (A +Q (z +Q z)))
22	16, 21	syl5bi 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A +Q (z +Q z)) = B → (((A +Q z) ∈ Q ⋀ z ∈ Q) → (A +Q z) <Q B))
23	15, 22	syl6bir 215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((z +Q z) = y → ((A +Q y) = B → (((A +Q z) ∈ Q ⋀ z ∈ Q) → (A +Q z) <Q B)))
24		addclpq 5070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A ∈ Q ⋀ z ∈ Q) → (A +Q z) ∈ Q)
25		pm3.27 323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A ∈ Q ⋀ z ∈ Q) → z ∈ Q)
26	24, 25	jca 288	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A ∈ Q ⋀ z ∈ Q) → ((A +Q z) ∈ Q ⋀ z ∈ Q))
27	23, 26	syl7 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((z +Q z) = y → ((A +Q y) = B → ((A ∈ Q ⋀ z ∈ Q) → (A +Q z) <Q B)))
28	4, 18	ltaddpq 5091	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A ∈ Q ⋀ z ∈ Q) → A <Q (A +Q z))
29		pm3.43i 287	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((A ∈ Q ⋀ z ∈ Q) → A <Q (A +Q z)) → (((A ∈ Q ⋀ z ∈ Q) → (A +Q z) <Q B) → ((A ∈ Q ⋀ z ∈ Q) → (A <Q (A +Q z) ⋀ (A +Q z) <Q B))))
30	28, 29	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((A ∈ Q ⋀ z ∈ Q) → (A +Q z) <Q B) → ((A ∈ Q ⋀ z ∈ Q) → (A <Q (A +Q z) ⋀ (A +Q z) <Q B)))
31	27, 30	syl6 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((z +Q z) = y → ((A +Q y) = B → ((A ∈ Q ⋀ z ∈ Q) → (A <Q (A +Q z) ⋀ (A +Q z) <Q B))))
32		breq2 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x = (A +Q z) → (A <Q x ↔ A <Q (A +Q z)))
33		breq1 2627	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x = (A +Q z) → (x <Q B ↔ (A +Q z) <Q B))
34	32, 33	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x = (A +Q z) → ((A <Q x ⋀ x <Q B) ↔ (A <Q (A +Q z) ⋀ (A +Q z) <Q B)))
35	17, 34	cla4ev 1872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A <Q (A +Q z) ⋀ (A +Q z) <Q B) → ∃x(A <Q x ⋀ x <Q B))
36	31, 35	syl8 24	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((z +Q z) = y → ((A +Q y) = B → ((A ∈ Q ⋀ z ∈ Q) → ∃x(A <Q x ⋀ x <Q B))))
37	36	com23 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z +Q z) = y → ((A ∈ Q ⋀ z ∈ Q) → ((A +Q y) = B → ∃x(A <Q x ⋀ x <Q B))))
38		eleq1 1537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((z +Q z) = y → ((z +Q z) ∈ Q ↔ y ∈ Q))
39	18, 8, 9	ndmoprrcl 4052	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((z +Q z) ∈ Q → (z ∈ Q ⋀ z ∈ Q))
40	39	pm3.26d 321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((z +Q z) ∈ Q → z ∈ Q)
41	38, 40	syl6bir 215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z +Q z) = y → (y ∈ Q → z ∈ Q))
42	37, 41	sylan2d 460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((z +Q z) = y → ((A ∈ Q ⋀ y ∈ Q) → ((A +Q y) = B → ∃x(A <Q x ⋀ x <Q B))))
43	42	19.23aiv 1297	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃z(z +Q z) = y → ((A ∈ Q ⋀ y ∈ Q) → ((A +Q y) = B → ∃x(A <Q x ⋀ x <Q B))))
44	13, 43	mpcom 49	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ Q ⋀ y ∈ Q) → ((A +Q y) = B → ∃x(A <Q x ⋀ x <Q B)))
45	44	com12 11	. . . . . . 7 ⊢ ((A +Q y) = B → ((A ∈ Q ⋀ y ∈ Q) → ∃x(A <Q x ⋀ x <Q B)))
46	11, 45	syld 27	. . . . . 6 ⊢ ((A +Q y) = B → (B ∈ Q → ∃x(A <Q x ⋀ x <Q B)))
47	46	com12 11	. . . . 5 ⊢ (B ∈ Q → ((A +Q y) = B → ∃x(A <Q x ⋀ x <Q B)))
48	47	adantl 390	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Q ⋀ B ∈ Q) → ((A +Q y) = B → ∃x(A <Q x ⋀ x <Q B)))
49	48	19.23adv 1216	. . 3 ⊢ ((A ∈ Q ⋀ B ∈ Q) → (∃y(A +Q y) = B → ∃x(A <Q x ⋀ x <Q B)))
50	5, 49	sylbid 203	. 2 ⊢ ((A ∈ Q ⋀ B ∈ Q) → (A <Q B → ∃x(A <Q x ⋀ x <Q B)))
51	3, 50	mpcom 49	1 ⊢ (A <Q B → ∃x(A <Q x ⋀ x <Q B))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∃wex 982  Vcvv 1814   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  Qcnq 4991   +_Q cplq 4993   <_Q cltq 4996

This theorem is referenced by:  1pr 5129  reclem2pr 5169

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-ltq 5054  df-1q 5055

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