Theorem ltdifltdiv 13207

Description: If the dividend of a division is less than the difference between a real number and the divisor, the floor function of the division plus 1 is less than the division of the real number by the divisor. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ltdifltdiv	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐶 − 𝐵) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) < (𝐶 / 𝐵)))

Proof of Theorem ltdifltdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refldivcl 13196	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
2		peano2re 10815	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
4	3	3adant3 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
5	4	adantr 483	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
6		rerpdivcl 12422	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
7		peano2re 10815	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
9	8	3adant3 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
10	9	adantr 483	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
11		rerpdivcl 12422	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
12	11	ancoms 461	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
13	12	3adant1 1126	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
14	13	adantr 483	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
15	1	3adant3 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
16	15	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
17	6	3adant3 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
18	17	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
19		1red 10644	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
20		3simpa 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+))
21	20	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+))
22		fldivle 13204	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
24	16, 18, 19, 23	leadd1dd 11256	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) ≤ ((𝐴 / 𝐵) + 1))
25		rpre 12400	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
26		ltaddsub 11116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 ↔ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)))
27	25, 26	syl3an2 1160	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 ↔ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)))
28	27	biimpar 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < 𝐶)
29		recn 10629	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
30	6, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
31	30	3adant3 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
32		rpcn 12402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
33	32	3ad2ant2 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
34		1cnd 10638	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
35		recn 10629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
36	35	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
37		rpne0 12408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ≠ 0)
38	37	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 0)
39	36, 33, 38	divcan1d 11419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
40	32	mulid2d 10661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
41	40	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
42	39, 41	oveq12d 7176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
43	31, 33, 34, 42	joinlmuladdmuld 10670	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
44		recn 10629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
45	44	3ad2ant3 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
46	45, 33, 38	divcan1d 11419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐶)
47	43, 46	breq12d 5081	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) < ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))
48	47	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → ((((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) < ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))
49	28, 48	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → (((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) < ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵))
50	17, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
51		simp2 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
52	50, 13, 51	ltmul1d 12475	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝐵) + 1) < (𝐶 / 𝐵) ↔ (((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) < ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵)))
53	52	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → (((𝐴 / 𝐵) + 1) < (𝐶 / 𝐵) ↔ (((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) < ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵)))
54	49, 53	mpbird 259	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) + 1) < (𝐶 / 𝐵))
55	5, 10, 14, 24, 54	lelttrd 10800	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) < (𝐶 / 𝐵))
56	55	ex 415	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐶 − 𝐵) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) < (𝐶 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544   < clt 10677   ≤ cle 10678   − cmin 10872   / cdiv 11299  ℝ⁺crp 12392  ⌊cfl 13163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fl 13165

This theorem is referenced by: (None)