MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltdifltdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltdifltdiv 12575
Description: If the dividend of a division is less than the difference between a real number and the divisor, the floor function of the division plus 1 is less than the division of the real number by the divisor. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
ltdifltdiv ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐶𝐵) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) < (𝐶 / 𝐵)))

Proof of Theorem ltdifltdiv
StepHypRef Expression
1 refldivcl 12564 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
2 peano2re 10153 . . . . . 6 ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
433adant3 1079 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
54adantr 481 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
6 rerpdivcl 11805 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
7 peano2re 10153 . . . . . 6 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
86, 7syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
983adant3 1079 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
109adantr 481 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
11 rerpdivcl 11805 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
1211ancoms 469 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
13123adant1 1077 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
1413adantr 481 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
1513adant3 1079 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
1615adantr 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
1763adant3 1079 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
1817adantr 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
19 1red 9999 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
20 3simpa 1056 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+))
2120adantr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+))
22 fldivle 12572 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
2321, 22syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
2416, 18, 19, 23leadd1dd 10585 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) ≤ ((𝐴 / 𝐵) + 1))
25 rpre 11783 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
26 ltaddsub 10446 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶𝐴 < (𝐶𝐵)))
2725, 26syl3an2 1357 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶𝐴 < (𝐶𝐵)))
2827biimpar 502 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < 𝐶)
29 recn 9970 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
306, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
31303adant3 1079 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
32 1cnd 10000 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
33 rpcn 11785 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ)
34333ad2ant2 1081 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3531, 32, 34adddird 10009 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) = (((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) + (1 · 𝐵)))
36 recn 9970 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
37363ad2ant1 1080 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
38 rpne0 11792 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 0)
39383ad2ant2 1081 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 0)
4037, 34, 39divcan1d 10746 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
4133mulid2d 10002 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ+ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
42413ad2ant2 1081 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
4340, 42oveq12d 6622 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
4435, 43eqtrd 2655 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
45 recn 9970 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
46453ad2ant3 1082 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
4746, 34, 39divcan1d 10746 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐶)
4844, 47breq12d 4626 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → ((((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) < ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))
4948adantr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → ((((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) < ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))
5028, 49mpbird 247 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → (((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) < ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵))
5117, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
52 simp2 1060 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
5351, 13, 52ltmul1d 11857 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝐵) + 1) < (𝐶 / 𝐵) ↔ (((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) < ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵)))
5453adantr 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → (((𝐴 / 𝐵) + 1) < (𝐶 / 𝐵) ↔ (((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) < ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵)))
5550, 54mpbird 247 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) + 1) < (𝐶 / 𝐵))
565, 10, 14, 24, 55lelttrd 10139 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) < (𝐶 / 𝐵))
5756ex 450 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐶𝐵) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) < (𝐶 / 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210   / cdiv 10628  +crp 11776  cfl 12531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fl 12533
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator