Theorem ltdivp1i 11568

Description: Less-than and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 17-Sep-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltplus1.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
prodgt0.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltmul1.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
ltdivp1i	⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) < 𝐵)

Proof of Theorem ltdivp1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltplus1.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltmul1.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
3		1re 10643	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	readdcli 10658	. . . . 5 ⊢ (𝐶 + 1) ∈ ℝ
5	2	ltp1i 11546	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 < (𝐶 + 1)
6	2, 4, 5	ltleii 10765	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ≤ (𝐶 + 1)
7		lemul2a 11497	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝐶 ≤ (𝐶 + 1)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
8	6, 7	mpan2 689	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
9	2, 4, 8	mp3an12 1447	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
10	1, 9	mpan 688	. . 3 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
11	10	3ad2ant1 1129	. 2 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
12		0re 10645	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
13	12, 2, 4	lelttri 10769	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < (𝐶 + 1)) → 0 < (𝐶 + 1))
14	5, 13	mpan2 689	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 𝐶 → 0 < (𝐶 + 1))
15	4	gt0ne0i 11177	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐶 + 1) ≠ 0)
16		prodgt0.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
17	16, 4	redivclzi 11408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 + 1) ≠ 0 → (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
19		ltmul1 11492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1))) → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
20	1, 19	mp3an1 1444	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1))) → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
21	4, 20	mpanr1 701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1)) → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
22	18, 21	mpancom 686	. . . . . . 7 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
23	22	biimpd 231	. . . . . 6 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
24	14, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐶 → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
25	24	imp 409	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)))
26	16	recni 10657	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
27	4	recni 10657	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 + 1) ∈ ℂ
28	26, 27	divcan1zi 11378	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 + 1) ≠ 0 → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
29	14, 15, 28	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐶 → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
30	29	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
31	25, 30	breqtrd 5094	. . 3 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) < 𝐵)
32	31	3adant1 1126	. 2 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) < 𝐵)
33	1, 2	remulcli 10659	. . 3 ⊢ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ
34	1, 4	remulcli 10659	. . 3 ⊢ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ∈ ℝ
35	33, 34, 16	lelttri 10769	. 2 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ∧ (𝐴 · (𝐶 + 1)) < 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) < 𝐵)
36	11, 32, 35	syl2anc 586	1 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018   class class class wbr 5068  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544   < clt 10677   ≤ cle 10678   / cdiv 11299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300

This theorem is referenced by: (None)