MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltdivp1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltdivp1i 11142
Description: Less-than and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 17-Sep-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
ltplus1.1 𝐴 ∈ ℝ
prodgt0.2 𝐵 ∈ ℝ
ltmul1.3 𝐶 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
ltdivp1i ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) < 𝐵)

Proof of Theorem ltdivp1i
StepHypRef Expression
1 ltplus1.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℝ
2 ltmul1.3 . . . . 5 𝐶 ∈ ℝ
3 1re 10231 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
42, 3readdcli 10245 . . . . 5 (𝐶 + 1) ∈ ℝ
52ltp1i 11119 . . . . . . 7 𝐶 < (𝐶 + 1)
62, 4, 5ltleii 10352 . . . . . 6 𝐶 ≤ (𝐶 + 1)
7 lemul2a 11070 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝐶 ≤ (𝐶 + 1)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
86, 7mpan2 709 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
92, 4, 8mp3an12 1563 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
101, 9mpan 708 . . 3 (0 ≤ 𝐴 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
11103ad2ant1 1128 . 2 ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
12 0re 10232 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
1312, 2, 4lelttri 10356 . . . . . . 7 ((0 ≤ 𝐶𝐶 < (𝐶 + 1)) → 0 < (𝐶 + 1))
145, 13mpan2 709 . . . . . 6 (0 ≤ 𝐶 → 0 < (𝐶 + 1))
154gt0ne0i 10755 . . . . . . . . 9 (0 < (𝐶 + 1) → (𝐶 + 1) ≠ 0)
16 prodgt0.2 . . . . . . . . . 10 𝐵 ∈ ℝ
1716, 4redivclzi 10983 . . . . . . . . 9 ((𝐶 + 1) ≠ 0 → (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
1815, 17syl 17 . . . . . . . 8 (0 < (𝐶 + 1) → (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
19 ltmul1 11065 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1))) → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
201, 19mp3an1 1560 . . . . . . . . 9 (((𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1))) → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
214, 20mpanr1 721 . . . . . . . 8 (((𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1)) → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
2218, 21mpancom 706 . . . . . . 7 (0 < (𝐶 + 1) → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
2322biimpd 219 . . . . . 6 (0 < (𝐶 + 1) → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
2414, 23syl 17 . . . . 5 (0 ≤ 𝐶 → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
2524imp 444 . . . 4 ((0 ≤ 𝐶𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)))
2616recni 10244 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℂ
274recni 10244 . . . . . . 7 (𝐶 + 1) ∈ ℂ
2826, 27divcan1zi 10953 . . . . . 6 ((𝐶 + 1) ≠ 0 → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
2914, 15, 283syl 18 . . . . 5 (0 ≤ 𝐶 → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
3029adantr 472 . . . 4 ((0 ≤ 𝐶𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
3125, 30breqtrd 4830 . . 3 ((0 ≤ 𝐶𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) < 𝐵)
32313adant1 1125 . 2 ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) < 𝐵)
331, 2remulcli 10246 . . 3 (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ
341, 4remulcli 10246 . . 3 (𝐴 · (𝐶 + 1)) ∈ ℝ
3533, 34, 16lelttri 10356 . 2 (((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ∧ (𝐴 · (𝐶 + 1)) < 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) < 𝐵)
3611, 32, 35syl2anc 696 1 ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) < 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266  cle 10267   / cdiv 10876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator