MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexp2r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltexp2r 12857
Description: The power of a positive number smaller than 1 decreases as its exponent increases. (Contributed by NM, 2-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ltexp2r (((𝐴 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 1) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴𝑁) < (𝐴𝑀)))

Proof of Theorem ltexp2r
StepHypRef Expression
1 simpl1 1062 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
21rpcnd 11818 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
31rpne0d 11821 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 ≠ 0)
4 simpl2 1063 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 1) → 𝑀 ∈ ℤ)
5 exprec 12841 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((1 / 𝐴)↑𝑀) = (1 / (𝐴𝑀)))
62, 3, 4, 5syl3anc 1323 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 1) → ((1 / 𝐴)↑𝑀) = (1 / (𝐴𝑀)))
7 simpl3 1064 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
8 exprec 12841 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 / 𝐴)↑𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))
92, 3, 7, 8syl3anc 1323 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 1) → ((1 / 𝐴)↑𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))
106, 9breq12d 4626 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 1) → (((1 / 𝐴)↑𝑀) < ((1 / 𝐴)↑𝑁) ↔ (1 / (𝐴𝑀)) < (1 / (𝐴𝑁))))
111rprecred 11827 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 1) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
12 simpr 477 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 < 1)
131reclt1d 11829 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 1) → (𝐴 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝐴)))
1412, 13mpbid 222 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 1) → 1 < (1 / 𝐴))
15 ltexp2 12854 . . 3 ((((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < (1 / 𝐴)) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ((1 / 𝐴)↑𝑀) < ((1 / 𝐴)↑𝑁)))
1611, 4, 7, 14, 15syl31anc 1326 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 1) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ((1 / 𝐴)↑𝑀) < ((1 / 𝐴)↑𝑁)))
17 rpexpcl 12819 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)
181, 7, 17syl2anc 692 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 1) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)
19 rpexpcl 12819 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴𝑀) ∈ ℝ+)
201, 4, 19syl2anc 692 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 1) → (𝐴𝑀) ∈ ℝ+)
2118, 20ltrecd 11834 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 1) → ((𝐴𝑁) < (𝐴𝑀) ↔ (1 / (𝐴𝑀)) < (1 / (𝐴𝑁))))
2210, 16, 213bitr4d 300 1 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 1) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴𝑁) < (𝐴𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   < clt 10018   / cdiv 10628  cz 11321  +crp 11776  cexp 12800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12742  df-exp 12801
This theorem is referenced by:  ltexp2rd  12973
  Copyright terms: Public domain W3C validator