MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexprlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltexprlem1 10446
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 3-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
Assertion
Ref Expression
ltexprlem1 (𝐵P → (𝐴𝐵𝐶 ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem1
StepHypRef Expression
1 pssnel 4416 . . 3 (𝐴𝐵 → ∃𝑦(𝑦𝐵 ∧ ¬ 𝑦𝐴))
2 prnmadd 10407 . . . . . . . . 9 ((𝐵P𝑦𝐵) → ∃𝑥(𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)
32anim2i 616 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝐵P𝑦𝐵)) → (¬ 𝑦𝐴 ∧ ∃𝑥(𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
4 19.42v 1945 . . . . . . . 8 (∃𝑥𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ∃𝑥(𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
53, 4sylibr 235 . . . . . . 7 ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝐵P𝑦𝐵)) → ∃𝑥𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
65exp32 421 . . . . . 6 𝑦𝐴 → (𝐵P → (𝑦𝐵 → ∃𝑥𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))))
76com3l 89 . . . . 5 (𝐵P → (𝑦𝐵 → (¬ 𝑦𝐴 → ∃𝑥𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))))
87impd 411 . . . 4 (𝐵P → ((𝑦𝐵 ∧ ¬ 𝑦𝐴) → ∃𝑥𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)))
98eximdv 1909 . . 3 (𝐵P → (∃𝑦(𝑦𝐵 ∧ ¬ 𝑦𝐴) → ∃𝑦𝑥𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)))
101, 9syl5 34 . 2 (𝐵P → (𝐴𝐵 → ∃𝑦𝑥𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)))
11 ltexprlem.1 . . . . 5 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
1211abeq2i 2945 . . . 4 (𝑥𝐶 ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
1312exbii 1839 . . 3 (∃𝑥 𝑥𝐶 ↔ ∃𝑥𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
14 n0 4307 . . 3 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐶)
15 excom 2159 . . 3 (∃𝑦𝑥𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑥𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
1613, 14, 153bitr4i 304 . 2 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝑥𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
1710, 16syl6ibr 253 1 (𝐵P → (𝐴𝐵𝐶 ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  {cab 2796  wne 3013  wpss 3934  c0 4288  (class class class)co 7145   +Q cplq 10265  Pcnp 10269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-ni 10282  df-pli 10283  df-mi 10284  df-lti 10285  df-plpq 10318  df-mpq 10319  df-ltpq 10320  df-enq 10321  df-nq 10322  df-erq 10323  df-plq 10324  df-mq 10325  df-1nq 10326  df-ltnq 10328  df-np 10391
This theorem is referenced by:  ltexprlem5  10450
  Copyright terms: Public domain W3C validator