MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexprlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltexprlem3 9845
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
Assertion
Ref Expression
ltexprlem3 (𝐵P → (𝑥𝐶 → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem3
StepHypRef Expression
1 elprnq 9798 . . . . . . . . . 10 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q)
2 addnqf 9755 . . . . . . . . . . . . 13 +Q :(Q × Q)⟶Q
32fdmi 6039 . . . . . . . . . . . 12 dom +Q = (Q × Q)
4 0nnq 9731 . . . . . . . . . . . 12 ¬ ∅ ∈ Q
53, 4ndmovrcl 6805 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑦Q𝑥Q))
65simpld 475 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q𝑦Q)
7 ltanq 9778 . . . . . . . . . 10 (𝑦Q → (𝑧 <Q 𝑥 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑦 +Q 𝑥)))
81, 6, 73syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑥 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑦 +Q 𝑥)))
9 prcdnq 9800 . . . . . . . . 9 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑦 +Q 𝑥) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
108, 9sylbid 230 . . . . . . . 8 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑥 → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
1110impancom 456 . . . . . . 7 ((𝐵P𝑧 <Q 𝑥) → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
1211anim2d 588 . . . . . 6 ((𝐵P𝑧 <Q 𝑥) → ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
1312eximdv 1844 . . . . 5 ((𝐵P𝑧 <Q 𝑥) → (∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
14 ltexprlem.1 . . . . . 6 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
1514abeq2i 2733 . . . . 5 (𝑥𝐶 ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
16 vex 3198 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
17 oveq2 6643 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 +Q 𝑥) = (𝑦 +Q 𝑧))
1817eleq1d 2684 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
1918anbi2d 739 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
2019exbidv 1848 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
2116, 20, 14elab2 3348 . . . . 5 (𝑧𝐶 ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
2213, 15, 213imtr4g 285 . . . 4 ((𝐵P𝑧 <Q 𝑥) → (𝑥𝐶𝑧𝐶))
2322ex 450 . . 3 (𝐵P → (𝑧 <Q 𝑥 → (𝑥𝐶𝑧𝐶)))
2423com23 86 . 2 (𝐵P → (𝑥𝐶 → (𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐶)))
2524alrimdv 1855 1 (𝐵P → (𝑥𝐶 → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  wal 1479   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  {cab 2606   class class class wbr 4644   × cxp 5102  (class class class)co 6635  Qcnq 9659   +Q cplq 9662   <Q cltq 9665  Pcnp 9666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-omul 7550  df-er 7727  df-ni 9679  df-pli 9680  df-mi 9681  df-lti 9682  df-plpq 9715  df-ltpq 9717  df-enq 9718  df-nq 9719  df-erq 9720  df-plq 9721  df-1nq 9723  df-ltnq 9725  df-np 9788
This theorem is referenced by:  ltexprlem5  9847
  Copyright terms: Public domain W3C validator