MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexprlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltexprlem4 10449
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
Assertion
Ref Expression
ltexprlem4 (𝐵P → (𝑥𝐶 → ∃𝑧(𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem4
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prnmax 10405 . . . . . . . . 9 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑤𝐵 (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)
2 df-rex 3141 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝐵 (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 ↔ ∃𝑤(𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤))
31, 2sylib 219 . . . . . . . 8 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑤(𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤))
4 ltrelnq 10336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 <Q ⊆ (Q × Q)
54brel 5610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q𝑤Q))
65simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → (𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q)
7 addnqf 10358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 +Q :(Q × Q)⟶Q
87fdmi 6517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 dom +Q = (Q × Q)
9 0nnq 10334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ¬ ∅ ∈ Q
108, 9ndmovrcl 7323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑦Q𝑥Q))
116, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → (𝑦Q𝑥Q))
12 ltaddnq 10384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦Q𝑥Q) → 𝑦 <Q (𝑦 +Q 𝑥))
13 ltsonq 10379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 <Q Or Q
1413, 4sotri 5980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 <Q (𝑦 +Q 𝑥) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → 𝑦 <Q 𝑤)
1512, 14sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦Q𝑥Q) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → 𝑦 <Q 𝑤)
1611, 15mpancom 684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤𝑦 <Q 𝑤)
174brel 5610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 <Q 𝑤 → (𝑦Q𝑤Q))
1817simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 <Q 𝑤𝑤Q)
19 ltexnq 10385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤Q → (𝑦 <Q 𝑤 ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤))
2019biimpd 230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤Q → (𝑦 <Q 𝑤 → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤))
2118, 20mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 <Q 𝑤 → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
2216, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
23 eqcom 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ (𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
2423exbii 1839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
2522, 24sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → ∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧))
2625ancri 550 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤))
2726anim2i 616 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → (𝑤𝐵 ∧ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
28 an12 641 . . . . . . . . . . . 12 ((∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ (𝑤𝐵 ∧ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
2927, 28sylibr 235 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
30 19.41v 1941 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
3129, 30sylibr 235 . . . . . . . . . 10 ((𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → ∃𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
3231eximi 1826 . . . . . . . . 9 (∃𝑤(𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → ∃𝑤𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
33 excom 2159 . . . . . . . . 9 (∃𝑧𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ ∃𝑤𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
3432, 33sylibr 235 . . . . . . . 8 (∃𝑤(𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → ∃𝑧𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
35 ovex 7178 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 +Q 𝑧) ∈ V
36 eleq1 2897 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) → (𝑤𝐵 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
37 breq2 5061 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) → ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 ↔ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)))
3836, 37anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) → ((𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) ↔ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧))))
3935, 38ceqsexv 3539 . . . . . . . . . 10 (∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)))
40 ltanq 10381 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦Q → (𝑥 <Q 𝑧 ↔ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)))
418, 4, 9, 40ndmovordi 7328 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧) → 𝑥 <Q 𝑧)
4241anim2i 616 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)) → ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧))
4339, 42sylbi 218 . . . . . . . . 9 (∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) → ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧))
4443eximi 1826 . . . . . . . 8 (∃𝑧𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) → ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧))
453, 34, 443syl 18 . . . . . . 7 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧))
4645anim2i 616 . . . . . 6 ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦𝐴 ∧ ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
4746an12s 645 . . . . 5 ((𝐵P ∧ (¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦𝐴 ∧ ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
48 19.42v 1945 . . . . 5 (∃𝑧𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)) ↔ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
4947, 48sylibr 235 . . . 4 ((𝐵P ∧ (¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → ∃𝑧𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
5049ex 413 . . 3 (𝐵P → ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑧𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧))))
5150eximdv 1909 . 2 (𝐵P → (∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑦𝑧𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧))))
52 ltexprlem.1 . . 3 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
5352abeq2i 2945 . 2 (𝑥𝐶 ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
54 vex 3495 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
55 oveq2 7153 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 +Q 𝑥) = (𝑦 +Q 𝑧))
5655eleq1d 2894 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
5756anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
5857exbidv 1913 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
5954, 58, 52elab2 3667 . . . . . 6 (𝑧𝐶 ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
6059anbi1i 623 . . . . 5 ((𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧) ↔ (∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
61 19.41v 1941 . . . . 5 (∃𝑦((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ (∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
62 anass 469 . . . . . 6 (((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
6362exbii 1839 . . . . 5 (∃𝑦((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
6460, 61, 633bitr2i 300 . . . 4 ((𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
6564exbii 1839 . . 3 (∃𝑧(𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑧𝑦𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
66 excom 2159 . . 3 (∃𝑦𝑧𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)) ↔ ∃𝑧𝑦𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
6765, 66bitr4i 279 . 2 (∃𝑧(𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑦𝑧𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
6851, 53, 673imtr4g 297 1 (𝐵P → (𝑥𝐶 → ∃𝑧(𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  {cab 2796  wrex 3136   class class class wbr 5057   × cxp 5546  (class class class)co 7145  Qcnq 10262   +Q cplq 10265   <Q cltq 10268  Pcnp 10269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-ni 10282  df-pli 10283  df-mi 10284  df-lti 10285  df-plpq 10318  df-mpq 10319  df-ltpq 10320  df-enq 10321  df-nq 10322  df-erq 10323  df-plq 10324  df-mq 10325  df-1nq 10326  df-ltnq 10328  df-np 10391
This theorem is referenced by:  ltexprlem5  10450
  Copyright terms: Public domain W3C validator