MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexprlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltexprlem5 9718
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
Assertion
Ref Expression
ltexprlem5 ((𝐵P𝐴𝐵) → 𝐶P)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem5
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexprlem.1 . . . . . 6 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
21ltexprlem1 9714 . . . . 5 (𝐵P → (𝐴𝐵𝐶 ≠ ∅))
3 0pss 3964 . . . . 5 (∅ ⊊ 𝐶𝐶 ≠ ∅)
42, 3syl6ibr 240 . . . 4 (𝐵P → (𝐴𝐵 → ∅ ⊊ 𝐶))
54imp 443 . . 3 ((𝐵P𝐴𝐵) → ∅ ⊊ 𝐶)
61ltexprlem2 9715 . . . 4 (𝐵P𝐶Q)
76adantr 479 . . 3 ((𝐵P𝐴𝐵) → 𝐶Q)
81ltexprlem3 9716 . . . . . 6 (𝐵P → (𝑥𝐶 → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐶)))
91ltexprlem4 9717 . . . . . . 7 (𝐵P → (𝑥𝐶 → ∃𝑧(𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧)))
10 df-rex 2901 . . . . . . 7 (∃𝑧𝐶 𝑥 <Q 𝑧 ↔ ∃𝑧(𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧))
119, 10syl6ibr 240 . . . . . 6 (𝐵P → (𝑥𝐶 → ∃𝑧𝐶 𝑥 <Q 𝑧))
128, 11jcad 553 . . . . 5 (𝐵P → (𝑥𝐶 → (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐶) ∧ ∃𝑧𝐶 𝑥 <Q 𝑧)))
1312ralrimiv 2947 . . . 4 (𝐵P → ∀𝑥𝐶 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐶) ∧ ∃𝑧𝐶 𝑥 <Q 𝑧))
1413adantr 479 . . 3 ((𝐵P𝐴𝐵) → ∀𝑥𝐶 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐶) ∧ ∃𝑧𝐶 𝑥 <Q 𝑧))
155, 7, 14jca31 554 . 2 ((𝐵P𝐴𝐵) → ((∅ ⊊ 𝐶𝐶Q) ∧ ∀𝑥𝐶 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐶) ∧ ∃𝑧𝐶 𝑥 <Q 𝑧)))
16 elnp 9665 . 2 (𝐶P ↔ ((∅ ⊊ 𝐶𝐶Q) ∧ ∀𝑥𝐶 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐶) ∧ ∃𝑧𝐶 𝑥 <Q 𝑧)))
1715, 16sylibr 222 1 ((𝐵P𝐴𝐵) → 𝐶P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  wal 1472   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  {cab 2595  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  wpss 3540  c0 3873   class class class wbr 4577  (class class class)co 6526  Qcnq 9530   +Q cplq 9533   <Q cltq 9536  Pcnp 9537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-omul 7429  df-er 7606  df-ni 9550  df-pli 9551  df-mi 9552  df-lti 9553  df-plpq 9586  df-mpq 9587  df-ltpq 9588  df-enq 9589  df-nq 9590  df-erq 9591  df-plq 9592  df-mq 9593  df-1nq 9594  df-ltnq 9596  df-np 9659
This theorem is referenced by:  ltexprlem6  9719  ltexprlem7  9720  ltexpri  9721
  Copyright terms: Public domain W3C validator