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Theorem ltflcei 33597
Description: Theorem to move the floor function across a strict inequality. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
ltflcei ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))

Proof of Theorem ltflcei
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flltp1 12684 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
21ad3antrrr 768 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
3 renegcl 10425 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
4 flval 12678 . . . . . . . . 9 (-𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐵) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))))
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐵) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))))
65ad3antlr 769 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → (⌊‘-𝐵) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))))
7 fllep1 12685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
87adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
9 reflcl 12680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
10 peano2re 10290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
1211adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
13 letr 10212 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → ((𝐵𝐴𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)))
1412, 13mpd3an3 1506 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐴𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)))
158, 14mpan2d 712 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)))
16 leneg 10612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1) ↔ -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
1711, 16sylan2 492 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1) ↔ -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
1815, 17sylibd 229 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴 → -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
1918ancoms 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴 → -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
20 ltneg 10609 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ -𝐵 < -(⌊‘𝐴)))
219, 20sylan 489 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ -𝐵 < -(⌊‘𝐴)))
229recnd 10149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
23 ax-1cn 10075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
24 negdi2 10420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((⌊‘𝐴) + 1) = (-(⌊‘𝐴) − 1))
2524oveq1d 6748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1) = ((-(⌊‘𝐴) − 1) + 1))
26 negcl 10362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⌊‘𝐴) ∈ ℂ → -(⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
27 npcan 10371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-(⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((-(⌊‘𝐴) − 1) + 1) = -(⌊‘𝐴))
2826, 27sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((-(⌊‘𝐴) − 1) + 1) = -(⌊‘𝐴))
2925, 28eqtr2d 2727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(⌊‘𝐴) = (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))
3022, 23, 29sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ → -(⌊‘𝐴) = (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))
3130breq2d 4740 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐵 < -(⌊‘𝐴) ↔ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
3231adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐵 < -(⌊‘𝐴) ↔ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
3321, 32bitrd 268 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
3433biimpd 219 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 → -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
3519, 34anim12d 587 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐴 ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) → (-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))))
3635ancomsd 469 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) < 𝐵𝐵𝐴) → (-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))))
3736impl 651 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → (-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
38 flcl 12679 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3938peano2zd 11566 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℤ)
4039znegcld 11565 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → -((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℤ)
41 rebtwnz 11869 . . . . . . . . . . 11 (-𝐵 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1)))
423, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1)))
43 breq1 4731 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -((⌊‘𝐴) + 1) → (𝑥 ≤ -𝐵 ↔ -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
44 oveq1 6740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = -((⌊‘𝐴) + 1) → (𝑥 + 1) = (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))
4544breq2d 4740 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -((⌊‘𝐴) + 1) → (-𝐵 < (𝑥 + 1) ↔ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
4643, 45anbi12d 749 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -((⌊‘𝐴) + 1) → ((𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1)) ↔ (-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))))
4746riota2 6716 . . . . . . . . . 10 ((-((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) → ((-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
4840, 42, 47syl2an 495 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
4948ad2antrr 764 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → ((-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
5037, 49mpbid 222 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) = -((⌊‘𝐴) + 1))
516, 50eqtrd 2726 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → (⌊‘-𝐵) = -((⌊‘𝐴) + 1))
5238zcnd 11564 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
53 peano2cn 10289 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝐴) ∈ ℂ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℂ)
5452, 53syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℂ)
553flcld 12682 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐵) ∈ ℤ)
5655zcnd 11564 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐵) ∈ ℂ)
57 negcon2 10415 . . . . . . . 8 ((((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℂ ∧ (⌊‘-𝐵) ∈ ℂ) → (((⌊‘𝐴) + 1) = -(⌊‘-𝐵) ↔ (⌊‘-𝐵) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
5854, 56, 57syl2an 495 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) + 1) = -(⌊‘-𝐵) ↔ (⌊‘-𝐵) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
5958ad2antrr 764 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → (((⌊‘𝐴) + 1) = -(⌊‘-𝐵) ↔ (⌊‘-𝐵) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
6051, 59mpbird 247 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → ((⌊‘𝐴) + 1) = -(⌊‘-𝐵))
612, 60breqtrd 4754 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵))
6261ex 449 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) → (𝐵𝐴𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
63 ltnle 10198 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
64 ceige 12727 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≤ -(⌊‘-𝐵))
6564adantl 473 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ -(⌊‘-𝐵))
66 ceicl 12725 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝐵) ∈ ℤ)
6766zred 11563 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝐵) ∈ ℝ)
6867adantl 473 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -(⌊‘-𝐵) ∈ ℝ)
69 ltletr 10210 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ -(⌊‘-𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 ≤ -(⌊‘-𝐵)) → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
7068, 69mpd3an3 1506 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 ≤ -(⌊‘-𝐵)) → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
7165, 70mpan2d 712 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
7263, 71sylbird 250 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
7372adantr 472 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
7462, 73pm2.61d 170 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵))
75 flval 12678 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
7675ad3antrrr 768 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → (⌊‘𝐴) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
77 ceim1l 12729 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵)
7877adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵)
79 peano2rem 10429 . . . . . . . . . . . . . 14 (-(⌊‘-𝐵) ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℝ)
8067, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℝ)
8180adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℝ)
82 ltleletr 10211 . . . . . . . . . . . . 13 (((-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵𝐵𝐴) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
83823com13 1118 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℝ) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵𝐵𝐴) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
8481, 83mpd3an3 1506 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵𝐵𝐴) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
8578, 84mpand 713 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴 → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
8666zcnd 11564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝐵) ∈ ℂ)
87 npcan 10371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-(⌊‘-𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1) = -(⌊‘-𝐵))
8886, 23, 87sylancl 697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ → ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1) = -(⌊‘-𝐵))
8988breq2d 4740 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1) ↔ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
9089biimprd 238 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 < -(⌊‘-𝐵) → 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)))
9190adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < -(⌊‘-𝐵) → 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)))
9285, 91anim12d 587 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐴𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) → ((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1))))
9392ancomsd 469 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < -(⌊‘-𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → ((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1))))
9493impl 651 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → ((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)))
95 peano2zm 11501 . . . . . . . . . 10 (-(⌊‘-𝐵) ∈ ℤ → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℤ)
9666, 95syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℤ)
97 rebtwnz 11869 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
98 breq1 4731 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (-(⌊‘-𝐵) − 1) → (𝑥𝐴 ↔ (-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
99 oveq1 6740 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (-(⌊‘-𝐵) − 1) → (𝑥 + 1) = ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1))
10099breq2d 4740 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (-(⌊‘-𝐵) − 1) → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)))
10198, 100anbi12d 749 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (-(⌊‘-𝐵) − 1) → ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ ((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1))))
102101riota2 6716 . . . . . . . . 9 (((-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = (-(⌊‘-𝐵) − 1)))
10396, 97, 102syl2anr 496 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = (-(⌊‘-𝐵) − 1)))
104103ad2antrr 764 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = (-(⌊‘-𝐵) − 1)))
10594, 104mpbid 222 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = (-(⌊‘-𝐵) − 1))
10676, 105eqtrd 2726 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → (⌊‘𝐴) = (-(⌊‘-𝐵) − 1))
10777ad3antlr 769 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵)
108106, 107eqbrtrd 4750 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → (⌊‘𝐴) < 𝐵)
109108ex 449 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) → (𝐵𝐴 → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
110 flle 12683 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
111110adantr 472 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
1129adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
113 lelttr 10209 . . . . . . . 8 (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
1141133coml 1121 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
115112, 114mpd3an3 1506 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
116111, 115mpand 713 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
11763, 116sylbird 250 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵𝐴 → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
118117adantr 472 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) → (¬ 𝐵𝐴 → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
119109, 118pm2.61d 170 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) → (⌊‘𝐴) < 𝐵)
12074, 119impbida 913 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1564  wcel 2071  ∃!wreu 2984   class class class wbr 4728  cfv 5969  crio 6693  (class class class)co 6733  cc 10015  cr 10016  1c1 10018   + caddc 10020   < clt 10155  cle 10156  cmin 10347  -cneg 10348  cz 11458  cfl 12674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-cnex 10073  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093  ax-pre-mulgt0 10094  ax-pre-sup 10095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rmo 2990  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-pss 3664  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-tp 4258  df-op 4260  df-uni 4513  df-iun 4598  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-tr 4829  df-id 5096  df-eprel 5101  df-po 5107  df-so 5108  df-fr 5145  df-we 5147  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-pred 5761  df-ord 5807  df-on 5808  df-lim 5809  df-suc 5810  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-riota 6694  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-om 7151  df-wrecs 7495  df-recs 7556  df-rdg 7594  df-er 7830  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-sup 8432  df-inf 8433  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-xr 10159  df-ltxr 10160  df-le 10161  df-sub 10349  df-neg 10350  df-nn 11102  df-n0 11374  df-z 11459  df-uz 11769  df-fl 12676
This theorem is referenced by:  leceifl  33598
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