MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltleii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltleii 10012
Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
lt.2 𝐵 ∈ ℝ
ltlei.1 𝐴 < 𝐵
Assertion
Ref Expression
ltleii 𝐴𝐵

Proof of Theorem ltleii
StepHypRef Expression
1 ltlei.1 . 2 𝐴 < 𝐵
2 lt.1 . . 3 𝐴 ∈ ℝ
3 lt.2 . . 3 𝐵 ∈ ℝ
42, 3ltlei 10011 . 2 (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵)
51, 4ax-mp 5 1 𝐴𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1976   class class class wbr 4577  cr 9792   < clt 9931  cle 9932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-pre-lttri 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937
This theorem is referenced by:  0le1  10403  ledivp1i  10801  ltdivp1i  10802  1le2  11091  1le3  11094  halfge0  11099  decleh  11376  declecOLD  11379  uzuzle23  11564  fz0to4untppr  12269  fzo0to42pr  12380  faclbnd4lem1  12900  4bc2eq6  12936  sqrt9  13811  sqrt2gt1lt2  13812  absrdbnd  13878  sqrtpclii  13919  geo2lim  14394  0.999...  14400  0.999...OLD  14401  ef01bndlem  14702  sin01bnd  14703  cos01bnd  14704  cos2bnd  14706  rpnnen2lem3  14733  rpnnen2lem4  14734  rpnnen2lem9  14739  rpnnen2lem12  14742  flodddiv4  14924  bitsp1o  14942  strlemor1  15745  strleun  15748  elii1  22490  htpycc  22535  pcoval1  22569  pco0  22570  pcoval2  22572  pcocn  22573  pcohtpylem  22575  pcopt  22578  pcopt2  22579  pcoass  22580  pcorevlem  22582  vitalilem4  23131  vitali  23133  mbfi1fseqlem6  23238  dveflem  23491  sinhalfpilem  23964  sincosq1lem  23998  sincos4thpi  24014  sincos6thpi  24016  tanregt0  24034  efif1olem4  24040  relogrn  24057  argregt0  24105  argrege0  24106  logneg2  24110  heron  24310  asin1  24366  reasinsin  24368  log2cnv  24416  log2tlbnd  24417  log2ub  24421  harmonicbnd3  24479  ppiublem1  24672  ppiub  24674  bposlem3  24756  bposlem4  24757  bposlem5  24758  bposlem7  24760  bposlem8  24761  bposlem9  24762  lgsdir2lem1  24795  chebbnd1lem3  24905  dchrvmasumlema  24934  logdivsum  24967  mulog2sumlem2  24969  pntpbnd1a  25019  pntpbnd2  25021  pntlemk  25040  istrkg3ld  25105  axlowdimlem16  25583  axlowdimlem17  25584  axlowdim  25587  usgraex0elv  25718  usgraex1elv  25719  usgraex2elv  25720  usgraex3elv  25721  constr3pthlem3  25979  4cycl4v4e  25988  4cycl4dv4e  25990  konigsberg  26308  extwwlkfablem2  26399  ex-fl  26490  ex-sqrt  26497  ex-gcd  26500  normlem6  27190  sqsscirc1  29116  logi  30707  dnizeq0  31469  cnndvlem1  31532  bj-pinftyccb  32109  bj-pinftynminfty  32115  tan2h  32395  fdc  32535  jm2.20nn  36406  areaquad  36645  sineq0ALT  38019  halffl  38275  itgsin0pilem1  38665  itgsinexplem1  38669  wallispilem2  38783  wallispilem4  38785  stirlinglem15  38805  stirlingr  38807  fourierdlem62  38885  fourierdlem77  38900  fourierdlem102  38925  fourierdlem103  38926  fourierdlem104  38927  fourierdlem111  38934  fourierdlem112  38935  fourierdlem114  38937  sqwvfoura  38945  sqwvfourb  38946  fourierswlem  38947  fouriersw  38948  etransclem23  38974  etransclem46  38997  smfmullem4  39503  fmtnoprmfac2lem1  39841  fmtno4prmfac  39847  31prm  39875  mod42tp1mod8  39882  nnsum3primes4  40029  nnsum3primesgbe  40033  nnsum4primeseven  40041  nnsum4primesevenALTV  40042  wtgoldbnnsum4prm  40043  bgoldbnnsum3prm  40045  tgblthelfgott  40054  tgblthelfgottOLD  40061  upgr4cycl4dv4e  41374  konigsbergiedgw  41438  konigsbergiedgwOLD  41439  konigsberglem1  41444  konigsberglem2  41445  konigsberglem3  41446
  Copyright terms: Public domain W3C validator