MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltlend Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltlend 10127
Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ltlend (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))

Proof of Theorem ltlend
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ltlen 10083 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
41, 2, 3syl2anc 692 1 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1992  wne 2796   class class class wbr 4618  cr 9880   < clt 10019  cle 10020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-resscn 9938  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025
This theorem is referenced by:  dedekindle  10146  uzm1  11662  fleqceilz  12590  seqf1olem1  12777  isprm5  15338  pcmpt  15515  fvmptnn04if  20568  zcld  22519  evth  22661  ivthlem2  23123  ivthlem3  23124  dgreq0  23920  lgslem1  24917  lgsquadlem2  25001  ttgcontlem1  25660  brbtwn2  25680  axcontlem8  25746  pthdlem2lem  26526  psgnfzto1stlem  29627  unbdqndv2lem2  32116  poimirlem17  33025  radcnvrat  37962  iccpartlt  40627  rege1logbrege0  41599
  Copyright terms: Public domain W3C validator