Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltmod 39306
Description: A sufficient condition for a "less than" relationship for the mod operator. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ltmod.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltmod.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
ltmod.c (𝜑𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴))
Assertion
Ref Expression
ltmod (𝜑 → (𝐶 mod 𝐵) < (𝐴 mod 𝐵))

Proof of Theorem ltmod
StepHypRef Expression
1 ltmod.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltmod.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
31, 2modcld 12630 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
41, 3resubcld 10418 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ)
51rexrd 10049 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
6 icossre 12212 . . . . . 6 (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴) ⊆ ℝ)
74, 5, 6syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴) ⊆ ℝ)
8 ltmod.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴))
97, 8sseldd 3589 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
102rpred 11832 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
119, 2rerpdivcld 11863 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
1211flcld 12555 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∈ ℤ)
1312zred 11442 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∈ ℝ)
1410, 13remulcld 10030 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵))) ∈ ℝ)
154rexrd 10049 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ*)
16 icoltub 39178 . . . . 5 (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴)) → 𝐶 < 𝐴)
1715, 5, 8, 16syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑𝐶 < 𝐴)
189, 1, 14, 17ltsub1dd 10599 . . 3 (𝜑 → (𝐶 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))) < (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))))
19 icossicc 12218 . . . . . . . 8 ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴) ⊆ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴)
2019, 8sseldi 3586 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴))
211, 2, 20lefldiveq 39004 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
2221eqcomd 2627 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
2322oveq2d 6631 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵))) = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))))
2423oveq2d 6631 . . 3 (𝜑 → (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
2518, 24breqtrd 4649 . 2 (𝜑 → (𝐶 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))) < (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
26 modval 12626 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐶 mod 𝐵) = (𝐶 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))))
279, 2, 26syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (𝐶 mod 𝐵) = (𝐶 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))))
28 modval 12626 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
291, 2, 28syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
3025, 27, 293brtr4d 4655 1 (𝜑 → (𝐶 mod 𝐵) < (𝐴 mod 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3560   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  cr 9895   · cmul 9901  *cxr 10033   < clt 10034  cmin 10226   / cdiv 10644  +crp 11792  [,)cico 12135  [,]cicc 12136  cfl 12547   mod cmo 12624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-inf 8309  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fl 12549  df-mod 12625
This theorem is referenced by:  fouriersw  39785
  Copyright terms: Public domain W3C validator