Theorem ltmpi 10320

Description: Ordering property of multiplication for positive integers. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltmpi	⊢ (𝐶 ∈ N → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵)))

Proof of Theorem ltmpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmulpi 10307	. 2 ⊢ dom ·N = (N × N)
2		ltrelpi 10305	. 2 ⊢ <N ⊆ (N × N)
3		0npi 10298	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ N
4		pinn 10294	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
5		pinn 10294	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
6		elni2 10293	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ N ↔ (𝐶 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐶))
7		iba 530	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ∈ 𝐶 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐶)))
8		nnmord 8252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐶) ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
9	7, 8	sylan9bbr 513	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
10	9	3exp1 1348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (𝐶 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐶 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵))))))
11	10	imp4b 424	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐶 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵))))
12	6, 11	syl5bi 244	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐶 ∈ N → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵))))
13	4, 5, 12	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐶 ∈ N → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵))))
14	13	imp 409	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
15		ltpiord 10303	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
16	15	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
17		mulclpi 10309	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) → (𝐶 ·N 𝐴) ∈ N)
18		mulclpi 10309	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐶 ·N 𝐵) ∈ N)
19		ltpiord 10303	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ·N 𝐴) ∈ N ∧ (𝐶 ·N 𝐵) ∈ N) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·N 𝐴) ∈ (𝐶 ·N 𝐵)))
20	17, 18, 19	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·N 𝐴) ∈ (𝐶 ·N 𝐵)))
21		mulpiord 10301	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) → (𝐶 ·N 𝐴) = (𝐶 ·o 𝐴))
22	21	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → (𝐶 ·N 𝐴) = (𝐶 ·o 𝐴))
23		mulpiord 10301	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐶 ·N 𝐵) = (𝐶 ·o 𝐵))
24	23	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → (𝐶 ·N 𝐵) = (𝐶 ·o 𝐵))
25	22, 24	eleq12d 2907	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → ((𝐶 ·N 𝐴) ∈ (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
26	20, 25	bitrd 281	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
27	26	anandis 676	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
28	27	ancoms 461	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
29	14, 16, 28	3bitr4d 313	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵)))
30	29	3impa 1106	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵)))
31	1, 2, 3, 30	ndmovord 7332	1 ⊢ (𝐶 ∈ N → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∅c0 4290   class class class wbr 5058  (class class class)co 7150  ωcom 7574   ·_o comu 8094  Ncnpi 10260   ·_N cmi 10262   <_N clti 10263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-ni 10288  df-mi 10290  df-lti 10291

This theorem is referenced by:  ltsonq  10385  lterpq  10386  ltanq  10387  ltmnq  10388  archnq  10396