MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltmpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltmpi 9671
Description: Ordering property of multiplication for positive integers. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltmpi (𝐶N → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵)))

Proof of Theorem ltmpi
StepHypRef Expression
1 dmmulpi 9658 . 2 dom ·N = (N × N)
2 ltrelpi 9656 . 2 <N ⊆ (N × N)
3 0npi 9649 . 2 ¬ ∅ ∈ N
4 pinn 9645 . . . . . 6 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
5 pinn 9645 . . . . . 6 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
6 elni2 9644 . . . . . . 7 (𝐶N ↔ (𝐶 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐶))
7 iba 524 . . . . . . . . . 10 (∅ ∈ 𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐶)))
8 nnmord 7658 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐶) ↔ (𝐶 ·𝑜 𝐴) ∈ (𝐶 ·𝑜 𝐵)))
97, 8sylan9bbr 736 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·𝑜 𝐴) ∈ (𝐶 ·𝑜 𝐵)))
1093exp1 1280 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (𝐶 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·𝑜 𝐴) ∈ (𝐶 ·𝑜 𝐵))))))
1110imp4b 612 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐶 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·𝑜 𝐴) ∈ (𝐶 ·𝑜 𝐵))))
126, 11syl5bi 232 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐶N → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·𝑜 𝐴) ∈ (𝐶 ·𝑜 𝐵))))
134, 5, 12syl2an 494 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → (𝐶N → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·𝑜 𝐴) ∈ (𝐶 ·𝑜 𝐵))))
1413imp 445 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·𝑜 𝐴) ∈ (𝐶 ·𝑜 𝐵)))
15 ltpiord 9654 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴𝐵))
1615adantr 481 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴𝐵))
17 mulclpi 9660 . . . . . . . 8 ((𝐶N𝐴N) → (𝐶 ·N 𝐴) ∈ N)
18 mulclpi 9660 . . . . . . . 8 ((𝐶N𝐵N) → (𝐶 ·N 𝐵) ∈ N)
19 ltpiord 9654 . . . . . . . 8 (((𝐶 ·N 𝐴) ∈ N ∧ (𝐶 ·N 𝐵) ∈ N) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·N 𝐴) ∈ (𝐶 ·N 𝐵)))
2017, 18, 19syl2an 494 . . . . . . 7 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·N 𝐴) ∈ (𝐶 ·N 𝐵)))
21 mulpiord 9652 . . . . . . . . 9 ((𝐶N𝐴N) → (𝐶 ·N 𝐴) = (𝐶 ·𝑜 𝐴))
2221adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → (𝐶 ·N 𝐴) = (𝐶 ·𝑜 𝐴))
23 mulpiord 9652 . . . . . . . . 9 ((𝐶N𝐵N) → (𝐶 ·N 𝐵) = (𝐶 ·𝑜 𝐵))
2423adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → (𝐶 ·N 𝐵) = (𝐶 ·𝑜 𝐵))
2522, 24eleq12d 2698 . . . . . . 7 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → ((𝐶 ·N 𝐴) ∈ (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·𝑜 𝐴) ∈ (𝐶 ·𝑜 𝐵)))
2620, 25bitrd 268 . . . . . 6 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·𝑜 𝐴) ∈ (𝐶 ·𝑜 𝐵)))
2726anandis 872 . . . . 5 ((𝐶N ∧ (𝐴N𝐵N)) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·𝑜 𝐴) ∈ (𝐶 ·𝑜 𝐵)))
2827ancoms 469 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·𝑜 𝐴) ∈ (𝐶 ·𝑜 𝐵)))
2914, 16, 283bitr4d 300 . . 3 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵)))
30293impa 1256 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵)))
311, 2, 3, 30ndmovord 6778 1 (𝐶N → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  c0 3896   class class class wbr 4618  (class class class)co 6605  ωcom 7013   ·𝑜 comu 7504  Ncnpi 9611   ·N cmi 9613   <N clti 9614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-oadd 7510  df-omul 7511  df-ni 9639  df-mi 9641  df-lti 9642
This theorem is referenced by:  ltsonq  9736  lterpq  9737  ltanq  9738  ltmnq  9739  archnq  9747
  Copyright terms: Public domain W3C validator