MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltmul2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltmul2d 11741
Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltmul1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltmul1d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltmul1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
ltmul2d (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵)))

Proof of Theorem ltmul2d
StepHypRef Expression
1 ltmul1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltmul1d.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ltmul1d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
43rpregt0d 11705 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
5 ltmul2 10718 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵)))
61, 2, 4, 5syl3anc 1317 1 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  wcel 1975   class class class wbr 4572  (class class class)co 6522  cr 9786  0cc0 9787   · cmul 9792   < clt 9925  +crp 11659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-op 4126  df-uni 4362  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-er 7601  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-ltxr 9930  df-sub 10114  df-neg 10115  df-rp 11660
This theorem is referenced by:  ltmul2dd  11755  addmodlteq  12557  argregt0  24072  argimgt0  24074  bposlem7  24727  bposlem9  24729
  Copyright terms: Public domain W3C validator