Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltmulneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltmulneg 39097
Description: Multiplying by a negative number, swaps the order. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ltmulneg.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltmulneg.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltmulneg.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
ltmulneg.n (𝜑𝐶 < 0)
Assertion
Ref Expression
ltmulneg (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem ltmulneg
StepHypRef Expression
1 ltmulneg.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltmulneg.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ltmulneg.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 ltmulneg.n . . . 4 (𝜑𝐶 < 0)
53, 4negelrpd 39093 . . 3 (𝜑 → -𝐶 ∈ ℝ+)
61, 2, 5ltmul1d 11860 . 2 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · -𝐶) < (𝐵 · -𝐶)))
73renegcld 10404 . . . 4 (𝜑 → -𝐶 ∈ ℝ)
81, 7remulcld 10017 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · -𝐶) ∈ ℝ)
92, 7remulcld 10017 . . 3 (𝜑 → (𝐵 · -𝐶) ∈ ℝ)
108, 9ltnegd 10552 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · -𝐶) < (𝐵 · -𝐶) ↔ -(𝐵 · -𝐶) < -(𝐴 · -𝐶)))
112recnd 10015 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
127recnd 10015 . . . . 5 (𝜑 → -𝐶 ∈ ℂ)
1311, 12mulneg2d 10431 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 · --𝐶) = -(𝐵 · -𝐶))
143recnd 10015 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1514negnegd 10330 . . . . 5 (𝜑 → --𝐶 = 𝐶)
1615oveq2d 6623 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 · --𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
1713, 16eqtr3d 2657 . . 3 (𝜑 → -(𝐵 · -𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
181recnd 10015 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1918, 12mulneg2d 10431 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · --𝐶) = -(𝐴 · -𝐶))
2015oveq2d 6623 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · --𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
2119, 20eqtr3d 2657 . . 3 (𝜑 → -(𝐴 · -𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
2217, 21breq12d 4628 . 2 (𝜑 → (-(𝐵 · -𝐶) < -(𝐴 · -𝐶) ↔ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶)))
236, 10, 223bitrd 294 1 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 · 𝐶) < (𝐴 · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wcel 1987   class class class wbr 4615  (class class class)co 6607  cr 9882  0cc0 9883   · cmul 9888   < clt 10021  -cneg 10214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-rp 11780
This theorem is referenced by:  ltdiv23neg  39099
  Copyright terms: Public domain W3C validator