MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltned Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltned 10357
Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ltned (𝜑𝐴𝐵)

Proof of Theorem ltned
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltned.2 . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
31, 2gtned 10356 . 2 (𝜑𝐵𝐴)
43necomd 2979 1 (𝜑𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2131  wne 2924   class class class wbr 4796  cr 10119   < clt 10258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-resscn 10177  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-ltxr 10263
This theorem is referenced by:  fzodisjsn  12692  modsumfzodifsn  12929  seqf1olem1  13026  nprm  15595  4sqlem10  15845  4sqlem17  15859  pgpfaclem2  18673  fvmptnn04ifb  20850  dvferm2lem  23940  lhop2  23969  ftc1lem5  23994  deg1tmle  24068  plyeq0lem  24157  aaliou3lem7  24295  dvloglem  24585  isosctrlem1  24739  bndatandm  24847  vma1  25083  rplogsumlem2  25365  rpvmasumlem  25367  axlowdimlem13  26025  axlowdimlem16  26028  strlem6  29416  hstrlem6  29424  pmtrto1cl  30150  psgnfzto1stlem  30151  1smat1  30171  submateqlem1  30174  submateqlem2  30175  madjusmdetlem2  30195  xrge0iifcnv  30280  reprlt  30998  reprgt  31000  reprinfz1  31001  erdszelem8  31479  ivthALT  32628  knoppndvlem1  32801  knoppndvlem2  32802  knoppndvlem7  32807  knoppndvlem21  32821  poimirlem1  33715  poimirlem6  33720  poimirlem7  33721  poimirlem9  33723  poimirlem15  33729  poimirlem22  33736  radcnvrat  39007  isosctrlem1ALT  39661  ltdiv23neg  40107  lptre2pt  40367  cncfiooicclem1  40601  cncfioobdlem  40604  ditgeqiooicc  40671  itgioocnicc  40688  iblcncfioo  40689  stirlinglem7  40792  fourierdlem34  40853  fourierdlem42  40861  fourierdlem54  40872  fourierdlem60  40878  fourierdlem73  40891  fourierdlem74  40892  fourierdlem76  40894  fourierdlem81  40899  fourierdlem82  40900  fourierdlem84  40902  fourierdlem93  40911  fourierdlem103  40921  fourierdlem104  40922  fourierdlem111  40929  fourierswlem  40942  pimrecltneg  41431
  Copyright terms: Public domain W3C validator