MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltned Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltned 10118
Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ltned (𝜑𝐴𝐵)

Proof of Theorem ltned
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltned.2 . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
31, 2gtned 10117 . 2 (𝜑𝐵𝐴)
43necomd 2851 1 (𝜑𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1992  wne 2796   class class class wbr 4618  cr 9880   < clt 10019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-resscn 9938  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-ltxr 10024
This theorem is referenced by:  fzodisjsn  12443  modsumfzodifsn  12680  seqf1olem1  12777  nprm  15320  4sqlem10  15570  4sqlem17  15584  pgpfaclem2  18397  fvmptnn04ifb  20570  dvferm2lem  23648  lhop2  23677  ftc1lem5  23702  deg1tmle  23776  plyeq0lem  23865  aaliou3lem7  24003  dvloglem  24289  isosctrlem1  24443  bndatandm  24551  vma1  24787  rplogsumlem2  25069  rpvmasumlem  25071  axlowdimlem13  25729  axlowdimlem16  25732  strlem6  28955  hstrlem6  28963  pmtrto1cl  29626  psgnfzto1stlem  29627  1smat1  29644  submateqlem1  29647  submateqlem2  29648  madjusmdetlem2  29668  xrge0iifcnv  29753  erdszelem8  30880  ivthALT  31964  knoppndvlem1  32137  knoppndvlem2  32138  knoppndvlem7  32143  knoppndvlem21  32157  poimirlem1  33028  poimirlem6  33033  poimirlem7  33034  poimirlem9  33036  poimirlem15  33042  poimirlem22  33049  radcnvrat  37981  isosctrlem1ALT  38639  ltdiv23neg  39068  lptre2pt  39263  cncfiooicclem1  39397  cncfioobdlem  39400  ditgeqiooicc  39470  itgioocnicc  39487  iblcncfioo  39488  stirlinglem7  39591  fourierdlem34  39652  fourierdlem42  39660  fourierdlem54  39671  fourierdlem60  39677  fourierdlem73  39690  fourierdlem74  39691  fourierdlem76  39693  fourierdlem81  39698  fourierdlem82  39699  fourierdlem84  39701  fourierdlem93  39710  fourierdlem103  39720  fourierdlem104  39721  fourierdlem111  39728  fourierswlem  39741  pimrecltneg  40227
  Copyright terms: Public domain W3C validator