Theorem ltned 10770

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltned	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem ltned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3	1, 2	gtned 10769	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	3	necomd 3071	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   class class class wbr 5058  ℝcr 10530   < clt 10669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674

This theorem is referenced by:  fzodisjsn  13069  modsumfzodifsn  13306  seqf1olem1  13403  nprm  16026  4sqlem10  16277  4sqlem17  16291  pgpfaclem2  19198  fvmptnn04ifb  21453  dvferm2lem  24577  lhop2  24606  ftc1lem5  24631  deg1tmle  24705  plyeq0lem  24794  aaliou3lem7  24932  dvloglem  25225  isosctrlem1  25390  bndatandm  25501  vma1  25737  rplogsumlem2  26055  rpvmasumlem  26057  axlowdimlem13  26734  axlowdimlem16  26737  strlem6  30027  hstrlem6  30035  fzone1  30517  pmtrto1cl  30736  psgnfzto1stlem  30737  cycpmrn  30780  krull  30975  1smat1  31064  submateqlem1  31067  submateqlem2  31068  madjusmdetlem2  31088  xrge0iifcnv  31171  reprlt  31885  reprgt  31887  reprinfz1  31888  erdszelem8  32440  ivthALT  33678  knoppndvlem1  33846  knoppndvlem2  33847  knoppndvlem7  33852  knoppndvlem21  33866  poimirlem1  34887  poimirlem6  34892  poimirlem7  34893  poimirlem9  34895  poimirlem15  34901  poimirlem22  34908  rtprmirr  39187  sn-0ne2  39229  radcnvrat  40639  isosctrlem1ALT  41261  ltdiv23neg  41659  lptre2pt  41914  cncfiooicclem1  42169  cncfioobdlem  42172  ditgeqiooicc  42238  itgioocnicc  42255  iblcncfioo  42256  stirlinglem7  42359  fourierdlem34  42420  fourierdlem42  42428  fourierdlem54  42439  fourierdlem60  42445  fourierdlem73  42458  fourierdlem74  42459  fourierdlem76  42461  fourierdlem81  42466  fourierdlem82  42467  fourierdlem84  42469  fourierdlem93  42478  fourierdlem103  42488  fourierdlem104  42489  fourierdlem111  42496  fourierswlem  42509  pimrecltneg  42995  eenglngeehlnmlem2  44719