MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltneii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltneii 9998
Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2 𝐴 < 𝐵
Assertion
Ref Expression
ltneii 𝐴𝐵

Proof of Theorem ltneii
StepHypRef Expression
1 lt.1 . . 3 𝐴 ∈ ℝ
2 ltneii.2 . . 3 𝐴 < 𝐵
31, 2gtneii 9997 . 2 𝐵𝐴
43necomi 2832 1 𝐴𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1976  wne 2776   class class class wbr 4574  cr 9788   < clt 9927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-resscn 9846  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-ltxr 9932
This theorem is referenced by:  1ne2  11084  f1oun2prg  13455  geo2sum  14386  3dvds  14833  3dvdsOLD  14834  slotsbhcdif  15846  oppchomfval  16140  oppcbas  16144  rescbas  16255  rescabs  16259  odubas  16899  opprlem  18394  srasca  18945  sravsca  18946  opsrbaslem  19241  opsrbaslemOLD  19242  zlmlem  19626  zlmsca  19630  znbaslem  19647  znbaslemOLD  19648  thlbas  19798  thlle  19799  matbas  19977  matplusg  19978  tuslem  21820  setsmsbas  22028  tnglem  22189  ppiub  24643  2lgslem3  24843  2lgslem4  24845  ttgval  25470  ttglem  25471  usgraexmpldifpr  25691  constr3lem4  25938  constr3trllem3  25943  konigsberg  26277  ex-dif  26435  ex-id  26446  ex-fv  26455  ex-mod  26461  resvbas  28966  resvplusg  28967  resvmulr  28969  hlhilslem  36048  rabren3dioph  36197  xrlexaddrp  38310  fourierdlem102  38902  fourierdlem114  38914  fouriersw  38925  nnsum4primesodd  40014  nnsum4primesoddALTV  40015  slotsbaseefdif  40227  structiedg0val  40254  upgr4cycl4dv4e  41351  konigsbergiedgw  41415  konigsberglem3  41423  konigsberglem5  41425  plusgndxnmulrndx  41742  basendxnmulrndx  41743  zlmodzxznm  42079  2p2ne5  42313
  Copyright terms: Public domain W3C validator