Theorem ltneii 10747

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 10746	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 3070	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   class class class wbr 5058  ℝcr 10530   < clt 10669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674

This theorem is referenced by:  1ne2  11839  f1oun2prg  14273  geo2sum  15223  3dvds  15674  plusgndxnmulrndx  16611  basendxnmulrndx  16612  slotsbhcdif  16687  oppchomfval  16978  oppcbas  16982  rescbas  17093  rescabs  17097  odubas  17737  opprlem  19372  rmodislmod  19696  srasca  19947  sravsca  19948  opsrbaslem  20252  cnfldfun  20551  zlmlem  20658  zlmsca  20662  znbaslem  20679  thlbas  20834  thlle  20835  tuslem  22870  setsmsbas  23079  tnglem  23243  ppiub  25774  2lgslem3  25974  2lgslem4  25976  addsq2nreurex  26014  ttgval  26655  ttglem  26656  slotsbaseefdif  26774  structvtxvallem  26799  usgrexmpldifpr  27034  upgr4cycl4dv4e  27958  konigsbergiedgw  28021  konigsberglem3  28027  konigsberglem5  28029  ex-dif  28196  ex-id  28207  ex-fv  28216  ex-mod  28222  9p10ne21  28243  resvbas  30900  resvplusg  30901  resvmulr  30903  hlhilslem  39068  rabren3dioph  39405  xrlexaddrp  41613  fourierdlem102  42487  fourierdlem114  42499  fouriersw  42510  nnsum4primesodd  43955  nnsum4primesoddALTV  43956  zlmodzxznm  44546  2p2ne5  44893