MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltneii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltneii 10110
Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2 𝐴 < 𝐵
Assertion
Ref Expression
ltneii 𝐴𝐵

Proof of Theorem ltneii
StepHypRef Expression
1 lt.1 . . 3 𝐴 ∈ ℝ
2 ltneii.2 . . 3 𝐴 < 𝐵
31, 2gtneii 10109 . 2 𝐵𝐴
43necomi 2844 1 𝐴𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4623  cr 9895   < clt 10034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-ltxr 10039
This theorem is referenced by:  1ne2  11200  f1oun2prg  13614  geo2sum  14548  3dvds  14995  3dvdsOLD  14996  plusgndxnmulrndx  15938  basendxnmulrndx  15939  slotsbhcdif  16020  oppchomfval  16314  oppcbas  16318  rescbas  16429  rescabs  16433  odubas  17073  opprlem  18568  rmodislmod  18871  srasca  19121  sravsca  19122  opsrbaslem  19417  opsrbaslemOLD  19418  cnfldfun  19698  zlmlem  19805  zlmsca  19809  znbaslem  19826  znbaslemOLD  19827  thlbas  19980  thlle  19981  matbas  20159  matplusg  20160  tuslem  22011  setsmsbas  22220  tnglem  22384  ppiub  24863  2lgslem3  25063  2lgslem4  25065  ttgval  25689  ttglem  25690  slotsbaseefdif  25807  structvtxvallem  25843  usgrexmpldifpr  26077  upgr4cycl4dv4e  26945  konigsbergiedgw  27008  konigsberglem3  27016  konigsberglem5  27018  ex-dif  27168  ex-id  27179  ex-fv  27188  ex-mod  27194  resvbas  29659  resvplusg  29660  resvmulr  29662  hlhilslem  36749  rabren3dioph  36898  xrlexaddrp  39067  fourierdlem102  39762  fourierdlem114  39774  fouriersw  39785  nnsum4primesodd  41003  nnsum4primesoddALTV  41004  zlmodzxznm  41604  2p2ne5  41877
  Copyright terms: Public domain W3C validator