Theorem ltnlei 10755

Description: 'Less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 11-Jul-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
ltnlei	⊢ (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem ltnlei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	1, 2	lenlti 10754	. 2 ⊢ (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵)
4	3	con2bii 360	1 ⊢ (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5058  ℝcr 10530   < clt 10669   ≤ cle 10670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-br 5059  df-opab 5121  df-xp 5555  df-cnv 5557  df-xr 10673  df-le 10675

This theorem is referenced by:  letrii  10759  nn0ge2m1nn  11958  0nelfz1  12920  fzpreddisj  12950  hashnn0n0nn  13746  hashge2el2dif  13832  n2dvds1OLD  15712  divalglem5  15742  divalglem6  15743  sadcadd  15801  htpycc  23578  pco1  23613  pcohtpylem  23617  pcopt  23620  pcopt2  23621  pcoass  23622  pcorevlem  23624  vitalilem5  24207  vieta1lem2  24894  ppiltx  25748  ppiublem1  25772  chtub  25782  axlowdimlem16  26737  axlowdim  26741  lfgrnloop  26904  lfuhgr1v0e  27030  lfgrwlkprop  27463  ballotlem2  31741  subfacp1lem1  32421  subfacp1lem5  32426  bcneg1  32963  poimirlem9  34895  poimirlem16  34902  poimirlem17  34903  poimirlem19  34905  poimirlem20  34906  poimirlem22  34908  fdc  35014  pellexlem6  39424  jm2.23  39586