MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltnri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltnri 10093
Description: 'Less than' is irreflexive. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
Hypothesis
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
ltnri ¬ 𝐴 < 𝐴

Proof of Theorem ltnri
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2 𝐴 ∈ ℝ
2 ltnr 10079 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
31, 2ax-mp 5 1 ¬ 𝐴 < 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wcel 1987   class class class wbr 4615  cr 9882   < clt 10021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-resscn 9940  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-ltxr 10026
This theorem is referenced by:  lt0ne0d  10540  prodgt0  10815  elnnnn0b  11284  0nrp  11812  geolim  14529  geolim2  14530  georeclim  14531  geoisum1c  14539  0ringnnzr  19191  dscopn  22291  logcnlem3  24297  jensen  24622  gausslemma2dlem0i  24996  ostth  25235  tgcgr4  25333  konigsberg  26992  signswch  30430  signlem0  30456  poimirlem32  33094  pell1qrgaplem  36938  relexp01min  37507  sgoldbaltlem1  40978  ex-gt  41778
  Copyright terms: Public domain W3C validator