MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltp1 10710
Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.)
Assertion
Ref Expression
ltp1 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1
StepHypRef Expression
1 1re 9895 . 2 1 ∈ ℝ
2 0lt1 10399 . . 3 0 < 1
3 ltaddpos 10367 . . 3 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ 𝐴 < (𝐴 + 1)))
42, 3mpbii 221 . 2 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 < (𝐴 + 1))
51, 4mpan 701 1 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1976   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   < clt 9930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120
This theorem is referenced by:  lep1  10711  letrp1  10714  recp1lt1  10770  ledivp1  10774  ltp1i  10776  ltp1d  10803  sup2  10828  uzind  11301  ge0p1rp  11694  qbtwnxr  11864  xrsupsslem  11965  supxrunb1  11977  fzp1disj  12224  fzneuz  12245  fzp1nel  12248  fsequb  12591  caubnd  13892  rlim2lt  14022  o1fsum  14332  pcprendvds  15329  pcmpt  15380  iocopnst  22478  bndth  22496  ovolicc2lem3  23011  ioorcl2  23063  itg2const2  23231  reeff1olem  23921  axlowdimlem13  25552  icoreunrn  32179  poimirlem4  32379  poimirlem22  32397  mblfinlem1  32412  fourierdlem25  38822  smfresal  39470
  Copyright terms: Public domain W3C validator