Theorem ltpnf 12509

Description: Any (finite) real is less than plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ltpnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)

Proof of Theorem ltpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . . 4 ⊢ +∞ = +∞
2		orc 863	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
3	1, 2	mpan2 689	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
4	3	olcd 870	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))))
5		rexr 10681	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		pnfxr 10689	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
7		ltxr 12504	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 < +∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
8	5, 6, 7	sylancl 588	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < +∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
9	4, 8	mpbird 259	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5059  ℝcr 10530   <_ℝ cltrr 10535  +∞cpnf 10666  -∞cmnf 10667  ℝ^*cxr 10668   < clt 10669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-xp 5556  df-pnf 10671  df-xr 10673  df-ltxr 10674

This theorem is referenced by:  ltpnfd  12510  0ltpnf  12511  xrlttri  12526  xrlttr  12527  xrrebnd  12555  xrre  12556  qbtwnxr  12587  xnn0lem1lt  12631  xrinfmsslem  12695  xrub  12699  supxrunb1  12706  supxrunb2  12707  elioc2  12793  elicc2  12795  ioomax  12805  ioopos  12807  elioopnf  12825  elicopnf  12827  difreicc  12864  hashbnd  13690  hashv01gt1  13699  fprodge0  15341  fprodge1  15343  pcadd  16219  ramubcl  16348  rge0srg  20610  mnfnei  21823  icopnfcld  23370  iocmnfcld  23371  xrtgioo  23408  xrge0tsms  23436  ioombl1lem4  24156  icombl1  24158  mbfmax  24244  upgrfi  26870  topnfbey  28242  isblo3i  28572  htthlem  28688  xlt2addrd  30476  dfrp2  30485  fsumrp0cl  30677  xrge0tsmsd  30687  pnfinf  30807  xrge0slmod  30912  xrge0iifcnv  31171  xrge0iifiso  31173  xrge0iifhom  31175  lmxrge0  31190  esumcst  31317  esumcvgre  31345  voliune  31483  volfiniune  31484  sxbrsigalem0  31524  orvcgteel  31720  dstfrvclim1  31730  itg2addnclem2  34938  asindmre  34971  dvasin  34972  dvacos  34973  rfcnpre3  41283  supxrgere  41593  supxrgelem  41597  xrlexaddrp  41612  infxr  41627  xrpnf  41754  limsupre  41914  limsuppnfdlem  41974  limsuppnflem  41983  liminflelimsupuz  42058  limsupub2  42085  icccncfext  42162  fourierdlem111  42495  fourierdlem113  42497  fouriersw  42509  sge0iunmptlemre  42690  sge0rpcpnf  42696  sge0xaddlem1  42708  meaiuninclem  42755  hoidmvlelem5  42874  ovolval5lem1  42927  pimltpnf  42977  iccpartiltu  43575  itscnhlinecirc02p  44765