Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrn11at Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrn11at 37163
Description: Frequently used one-to-one property of lattice translation atoms. (Contributed by NM, 5-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrneq2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrneq2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrneq2.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrn11at (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄)) → (𝐹𝑃) ≠ (𝐹𝑄))

Proof of Theorem ltrn11at
StepHypRef Expression
1 simp33 1203 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑃𝑄)
2 simp1 1128 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simp2 1129 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝐹𝑇)
4 simp31 1201 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑃𝐴)
5 eqid 2818 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 ltrneq2.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atbase 36305 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
84, 7syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
9 simp32 1202 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑄𝐴)
105, 6atbase 36305 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
119, 10syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
12 ltrneq2.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13 ltrneq2.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
145, 12, 13ltrn11 37142 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝐹𝑃) = (𝐹𝑄) ↔ 𝑃 = 𝑄))
152, 3, 8, 11, 14syl112anc 1366 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄)) → ((𝐹𝑃) = (𝐹𝑄) ↔ 𝑃 = 𝑄))
1615necon3bid 3057 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄)) → ((𝐹𝑃) ≠ (𝐹𝑄) ↔ 𝑃𝑄))
171, 16mpbird 258 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄)) → (𝐹𝑃) ≠ (𝐹𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  cfv 6348  Basecbs 16471  Atomscatm 36279  HLchlt 36366  LHypclh 37000  LTrncltrn 37117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8397  df-ats 36283  df-laut 37005  df-ldil 37120  df-ltrn 37121
This theorem is referenced by:  cdlemg10a  37656  cdlemg12d  37662  cdlemg18a  37694
  Copyright terms: Public domain W3C validator