Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrn2ateq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrn2ateq 35970
Description: Property of the equality of a lattice translation with its value. (Contributed by NM, 27-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrn2eq.l = (le‘𝐾)
ltrn2eq.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrn2eq.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrn2eq.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrn2ateq (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → ((𝐹𝑃) = 𝑃 ↔ (𝐹𝑄) = 𝑄))

Proof of Theorem ltrn2ateq
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 ltrn2eq.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 ltrn2eq.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 ltrn2eq.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 ltrn2eq.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5ltrnideq 35965 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝐹𝑃) = 𝑃))
763adant3r3 1200 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → (𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝐹𝑃) = 𝑃))
81, 2, 3, 4, 5ltrnideq 35965 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝐹𝑄) = 𝑄))
983adant3r2 1199 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → (𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝐹𝑄) = 𝑄))
107, 9bitr3d 270 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → ((𝐹𝑃) = 𝑃 ↔ (𝐹𝑄) = 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804   I cid 5173  cres 5268  cfv 6049  Basecbs 16059  lecple 16150  Atomscatm 35053  HLchlt 35140  LHypclh 35773  LTrncltrn 35890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-map 8025  df-preset 17129  df-poset 17147  df-plt 17159  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-p0 17240  df-p1 17241  df-lat 17247  df-clat 17309  df-oposet 34966  df-ol 34968  df-oml 34969  df-covers 35056  df-ats 35057  df-atl 35088  df-cvlat 35112  df-hlat 35141  df-lhyp 35777  df-laut 35778  df-ldil 35893  df-ltrn 35894  df-trl 35949
This theorem is referenced by:  ltrnateq  35971  ltrnatneq  35972  trlval3  35977
  Copyright terms: Public domain W3C validator