Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnatb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrnatb 37153
Description: The lattice translation of an atom is an atom. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnatb.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnatb.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnatb.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnatb.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrnatb (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝑃𝐴 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ltrnatb
StepHypRef Expression
1 simp3 1130 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → 𝑃𝐵)
2 ltrnatb.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 ltrnatb.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 ltrnatb.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4ltrncl 37141 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)
61, 52thd 266 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝑃𝐵 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐵))
7 simp1 1128 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8 simp2 1129 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → 𝐹𝑇)
9 simp1l 1189 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
10 hlop 36378 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
11 eqid 2818 . . . . . . 7 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
122, 11op0cl 36200 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
139, 10, 123syl 18 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
14 eqid 2818 . . . . . 6 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
152, 14, 3, 4ltrncvr 37149 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((0.‘𝐾) ∈ 𝐵𝑃𝐵)) → ((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ↔ (𝐹‘(0.‘𝐾))( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃)))
167, 8, 13, 1, 15syl112anc 1366 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → ((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ↔ (𝐹‘(0.‘𝐾))( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃)))
179, 10syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
18 simp1r 1190 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → 𝑊𝐻)
192, 3lhpbase 37014 . . . . . . . 8 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → 𝑊𝐵)
21 eqid 2818 . . . . . . . 8 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
222, 21, 11op0le 36202 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊𝐵) → (0.‘𝐾)(le‘𝐾)𝑊)
2317, 20, 22syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (0.‘𝐾)(le‘𝐾)𝑊)
242, 21, 3, 4ltrnval1 37150 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((0.‘𝐾) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹‘(0.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
257, 8, 13, 23, 24syl112anc 1366 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝐹‘(0.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
2625breq1d 5067 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → ((𝐹‘(0.‘𝐾))( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃) ↔ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃)))
2716, 26bitrd 280 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → ((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ↔ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃)))
286, 27anbi12d 630 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → ((𝑃𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃))))
29 ltrnatb.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
302, 11, 14, 29isat 36302 . . 3 (𝐾 ∈ HL → (𝑃𝐴 ↔ (𝑃𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)))
319, 30syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝑃𝐴 ↔ (𝑃𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)))
322, 11, 14, 29isat 36302 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃))))
339, 32syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃))))
3428, 31, 333bitr4d 312 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝑃𝐴 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  Basecbs 16471  lecple 16560  0.cp0 17635  OPcops 36188  ccvr 36278  Atomscatm 36279  HLchlt 36366  LHypclh 37000  LTrncltrn 37117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8397  df-plt 17556  df-glb 17573  df-p0 17637  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-hlat 36367  df-lhyp 37004  df-laut 37005  df-ldil 37120  df-ltrn 37121
This theorem is referenced by:  ltrncnvatb  37154  ltrnel  37155  ltrnat  37156
  Copyright terms: Public domain W3C validator