Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrncl 34212
Description: Closure of a lattice translation. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrn1o.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrn1o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrn1o.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrncl (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ltrncl
StepHypRef Expression
1 simp1l 1077 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑋𝐵) → 𝐾𝑉)
2 ltrn1o.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2609 . . . 4 (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4 ltrn1o.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4ltrnlaut 34210 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
653adant3 1073 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑋𝐵) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
7 simp3 1055 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
8 ltrn1o.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
98, 3lautcl 34174 . 2 (((𝐾𝑉𝐹 ∈ (LAut‘𝐾)) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ 𝐵)
101, 6, 7, 9syl21anc 1316 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5789  Basecbs 15643  LHypclh 34071  LAutclaut 34072  LTrncltrn 34188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-map 7723  df-laut 34076  df-ldil 34191  df-ltrn 34192
This theorem is referenced by:  ltrnatb  34224  ltrneq2  34235  trlval2  34251  trlcl  34252  trljat1  34254  trljat2  34255  trlle  34272  cdlemc4  34282  cdlemc5  34283  cdlemd7  34292  cdlemg4c  34701  cdlemg7N  34715  cdlemg8b  34717  cdlemg11b  34731  trlcolem  34815  cdlemg44a  34820  cdlemi1  34907  cdlemi  34909  cdlemkvcl  34931  cdlemkid1  35011  cdlemm10N  35208  dih1dimatlem  35419
  Copyright terms: Public domain W3C validator