Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncnvat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrncnvat 35948
Description: The converse of the lattice translation of an atom is an atom. (Contributed by NM, 9-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnel.l = (le‘𝐾)
ltrnel.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnel.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnel.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrncnvat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐴) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ltrncnvat
StepHypRef Expression
1 simp3 1133 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐴) → 𝑃𝐴)
2 eqid 2760 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 ltrnel.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42, 3atbase 35097 . . 3 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5 ltrnel.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 ltrnel.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
72, 3, 5, 6ltrncnvatb 35945 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃𝐴 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴))
84, 7syl3an3 1170 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐴) → (𝑃𝐴 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴))
91, 8mpbid 222 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐴) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  ccnv 5265  cfv 6049  Basecbs 16079  lecple 16170  Atomscatm 35071  HLchlt 35158  LHypclh 35791  LTrncltrn 35908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-map 8027  df-plt 17179  df-glb 17196  df-p0 17260  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-hlat 35159  df-lhyp 35795  df-laut 35796  df-ldil 35911  df-ltrn 35912
This theorem is referenced by:  ltrncnvel  35949  ltrncnv  35953  ltrneq2  35955  cdlemg17h  36476
  Copyright terms: Public domain W3C validator