Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncnvatb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrncnvatb 34241
Description: The converse of the lattice translation of an atom is an atom. (Contributed by NM, 2-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnatb.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnatb.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnatb.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnatb.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrncnvatb (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝑃𝐴 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ltrncnvatb
StepHypRef Expression
1 ltrnatb.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 ltrnatb.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 ltrnatb.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3ltrn1o 34227 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
5 f1ocnvdm 6414 . . . 4 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝑃𝐵) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)
64, 5stoic3 1691 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)
7 ltrnatb.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
81, 7, 2, 3ltrnatb 34240 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘(𝐹𝑃)) ∈ 𝐴))
96, 8syld3an3 1362 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ↔ (𝐹‘(𝐹𝑃)) ∈ 𝐴))
10 f1ocnvfv2 6407 . . . 4 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝑃𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝑃)) = 𝑃)
114, 10stoic3 1691 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝑃)) = 𝑃)
1211eleq1d 2667 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → ((𝐹‘(𝐹𝑃)) ∈ 𝐴𝑃𝐴))
139, 12bitr2d 267 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝑃𝐴 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  ccnv 5023  1-1-ontowf1o 5785  cfv 5786  Basecbs 15637  Atomscatm 33367  HLchlt 33454  LHypclh 34087  LTrncltrn 34204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-map 7719  df-plt 16723  df-glb 16740  df-p0 16804  df-oposet 33280  df-ol 33282  df-oml 33283  df-covers 33370  df-ats 33371  df-hlat 33455  df-lhyp 34091  df-laut 34092  df-ldil 34207  df-ltrn 34208
This theorem is referenced by:  ltrncnvat  34244
  Copyright terms: Public domain W3C validator