Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnco4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrnco4 36529
Description: Rearrange a composition of 4 translations, analogous to an4 900. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrncom.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrncom.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrnco4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐸𝑇𝐹𝑇) → ((𝐷𝐸) ∘ (𝐹𝐺)) = ((𝐷𝐹) ∘ (𝐸𝐺)))

Proof of Theorem ltrnco4
StepHypRef Expression
1 ltrncom.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 ltrncom.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
31, 2ltrncom 36528 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐸𝑇𝐹𝑇) → (𝐸𝐹) = (𝐹𝐸))
43coeq1d 5439 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐸𝑇𝐹𝑇) → ((𝐸𝐹) ∘ 𝐺) = ((𝐹𝐸) ∘ 𝐺))
5 coass 5815 . . . 4 ((𝐸𝐹) ∘ 𝐺) = (𝐸 ∘ (𝐹𝐺))
6 coass 5815 . . . 4 ((𝐹𝐸) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ (𝐸𝐺))
74, 5, 63eqtr3g 2817 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐸𝑇𝐹𝑇) → (𝐸 ∘ (𝐹𝐺)) = (𝐹 ∘ (𝐸𝐺)))
87coeq2d 5440 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐸𝑇𝐹𝑇) → (𝐷 ∘ (𝐸 ∘ (𝐹𝐺))) = (𝐷 ∘ (𝐹 ∘ (𝐸𝐺))))
9 coass 5815 . 2 ((𝐷𝐸) ∘ (𝐹𝐺)) = (𝐷 ∘ (𝐸 ∘ (𝐹𝐺)))
10 coass 5815 . 2 ((𝐷𝐹) ∘ (𝐸𝐺)) = (𝐷 ∘ (𝐹 ∘ (𝐸𝐺)))
118, 9, 103eqtr4g 2819 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐸𝑇𝐹𝑇) → ((𝐷𝐸) ∘ (𝐹𝐺)) = ((𝐷𝐹) ∘ (𝐸𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  ccom 5270  cfv 6049  HLchlt 35140  LHypclh 35773  LTrncltrn 35890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-riotaBAD 34742
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-undef 7568  df-map 8025  df-preset 17129  df-poset 17147  df-plt 17159  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-p0 17240  df-p1 17241  df-lat 17247  df-clat 17309  df-oposet 34966  df-ol 34968  df-oml 34969  df-covers 35056  df-ats 35057  df-atl 35088  df-cvlat 35112  df-hlat 35141  df-llines 35287  df-lplanes 35288  df-lvols 35289  df-lines 35290  df-psubsp 35292  df-pmap 35293  df-padd 35585  df-lhyp 35777  df-laut 35778  df-ldil 35893  df-ltrn 35894  df-trl 35949
This theorem is referenced by:  tendoco2  36558
  Copyright terms: Public domain W3C validator