Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnco4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrnco4 35507
Description: Rearrange a composition of 4 translations, analogous to an4 864. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrncom.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrncom.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrnco4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐸𝑇𝐹𝑇) → ((𝐷𝐸) ∘ (𝐹𝐺)) = ((𝐷𝐹) ∘ (𝐸𝐺)))

Proof of Theorem ltrnco4
StepHypRef Expression
1 ltrncom.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 ltrncom.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
31, 2ltrncom 35506 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐸𝑇𝐹𝑇) → (𝐸𝐹) = (𝐹𝐸))
43coeq1d 5243 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐸𝑇𝐹𝑇) → ((𝐸𝐹) ∘ 𝐺) = ((𝐹𝐸) ∘ 𝐺))
5 coass 5613 . . . 4 ((𝐸𝐹) ∘ 𝐺) = (𝐸 ∘ (𝐹𝐺))
6 coass 5613 . . . 4 ((𝐹𝐸) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ (𝐸𝐺))
74, 5, 63eqtr3g 2678 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐸𝑇𝐹𝑇) → (𝐸 ∘ (𝐹𝐺)) = (𝐹 ∘ (𝐸𝐺)))
87coeq2d 5244 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐸𝑇𝐹𝑇) → (𝐷 ∘ (𝐸 ∘ (𝐹𝐺))) = (𝐷 ∘ (𝐹 ∘ (𝐸𝐺))))
9 coass 5613 . 2 ((𝐷𝐸) ∘ (𝐹𝐺)) = (𝐷 ∘ (𝐸 ∘ (𝐹𝐺)))
10 coass 5613 . 2 ((𝐷𝐹) ∘ (𝐸𝐺)) = (𝐷 ∘ (𝐹 ∘ (𝐸𝐺)))
118, 9, 103eqtr4g 2680 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐸𝑇𝐹𝑇) → ((𝐷𝐸) ∘ (𝐹𝐺)) = ((𝐷𝐹) ∘ (𝐸𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  ccom 5078  cfv 5847  HLchlt 34117  LHypclh 34750  LTrncltrn 34867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-riotaBAD 33719
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-undef 7344  df-map 7804  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-oposet 33943  df-ol 33945  df-oml 33946  df-covers 34033  df-ats 34034  df-atl 34065  df-cvlat 34089  df-hlat 34118  df-llines 34264  df-lplanes 34265  df-lvols 34266  df-lines 34267  df-psubsp 34269  df-pmap 34270  df-padd 34562  df-lhyp 34754  df-laut 34755  df-ldil 34870  df-ltrn 34871  df-trl 34926
This theorem is referenced by:  tendoco2  35536
  Copyright terms: Public domain W3C validator