Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncoidN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrncoidN 35732
Description: Two translations are equal if the composition of one with the converse of the other is the zero translation. This is an analogue of vector subtraction. (Contributed by NM, 7-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrn1o.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrn1o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrn1o.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrncoidN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝐹 = 𝐺))

Proof of Theorem ltrncoidN
StepHypRef Expression
1 simpl1 1084 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simpl3 1086 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐺𝑇)
3 ltrn1o.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 ltrn1o.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 ltrn1o.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
63, 4, 5ltrn1o 35728 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
71, 2, 6syl2anc 694 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
8 f1ococnv1 6203 . . . . . . 7 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐵 → (𝐺𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
97, 8syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐺𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
109coeq2d 5317 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹 ∘ (𝐺𝐺)) = (𝐹 ∘ ( I ↾ 𝐵)))
11 simpl2 1085 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹𝑇)
123, 4, 5ltrn1o 35728 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
131, 11, 12syl2anc 694 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
14 f1of 6175 . . . . . 6 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝐹:𝐵𝐵)
15 fcoi1 6116 . . . . . 6 (𝐹:𝐵𝐵 → (𝐹 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐹)
1613, 14, 153syl 18 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐹)
1710, 16eqtr2d 2686 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = (𝐹 ∘ (𝐺𝐺)))
18 coass 5692 . . . 4 ((𝐹𝐺) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ (𝐺𝐺))
1917, 18syl6eqr 2703 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = ((𝐹𝐺) ∘ 𝐺))
20 simpr 476 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
2120coeq1d 5316 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵)) → ((𝐹𝐺) ∘ 𝐺) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺))
22 f1of 6175 . . . . 5 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐵𝐺:𝐵𝐵)
23 fcoi2 6117 . . . . 5 (𝐺:𝐵𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = 𝐺)
247, 22, 233syl 18 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵)) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = 𝐺)
2521, 24eqtrd 2685 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵)) → ((𝐹𝐺) ∘ 𝐺) = 𝐺)
2619, 25eqtrd 2685 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = 𝐺)
27 simpr 476 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = 𝐺) → 𝐹 = 𝐺)
2827coeq1d 5316 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = 𝐺) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐺))
29 simpl1 1084 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = 𝐺) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
30 simpl3 1086 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = 𝐺) → 𝐺𝑇)
3129, 30, 6syl2anc 694 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = 𝐺) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
32 f1ococnv2 6201 . . . 4 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐵 → (𝐺𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
3331, 32syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = 𝐺) → (𝐺𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
3428, 33eqtrd 2685 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = 𝐺) → (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
3526, 34impbida 895 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝐹 = 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   I cid 5052  ccnv 5142  cres 5145  ccom 5147  wf 5922  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  Basecbs 15904  HLchlt 34955  LHypclh 35588  LTrncltrn 35705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-map 7901  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709
This theorem is referenced by:  tendospcanN  36629
  Copyright terms: Public domain W3C validator