Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrniotaval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrniotaval 35370
Description: Value of the unique translation specified by a value. (Contributed by NM, 21-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrniotaval.l = (le‘𝐾)
ltrniotaval.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrniotaval.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrniotaval.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
ltrniotaval.f 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)
Assertion
Ref Expression
ltrniotaval (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐹𝑃) = 𝑄)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   ,𝑓   𝑃,𝑓   𝑄,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑓)

Proof of Theorem ltrniotaval
StepHypRef Expression
1 ltrniotaval.l . . 3 = (le‘𝐾)
2 ltrniotaval.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 ltrniotaval.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 ltrniotaval.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
51, 2, 3, 4cdleme 35349 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → ∃!𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)
6 ltrniotaval.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)
7 nfriota1 6575 . . . . . . 7 𝑓(𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)
86, 7nfcxfr 2759 . . . . . 6 𝑓𝐹
9 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑓𝑃
108, 9nffv 6157 . . . . 5 𝑓(𝐹𝑃)
1110nfeq1 2774 . . . 4 𝑓(𝐹𝑃) = 𝑄
12 fveq1 6149 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑃) = (𝐹𝑃))
1312eqeq1d 2623 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑃) = 𝑄 ↔ (𝐹𝑃) = 𝑄))
1411, 6, 13riotaprop 6592 . . 3 (∃!𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄 → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑄))
1514simprd 479 . 2 (∃!𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄 → (𝐹𝑃) = 𝑄)
165, 15syl 17 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐹𝑃) = 𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  ∃!wreu 2909   class class class wbr 4615  cfv 5849  crio 6567  lecple 15872  Atomscatm 34051  HLchlt 34138  LHypclh 34771  LTrncltrn 34888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-riotaBAD 33740
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-iin 4490  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-undef 7347  df-map 7807  df-preset 16852  df-poset 16870  df-plt 16882  df-lub 16898  df-glb 16899  df-join 16900  df-meet 16901  df-p0 16963  df-p1 16964  df-lat 16970  df-clat 17032  df-oposet 33964  df-ol 33966  df-oml 33967  df-covers 34054  df-ats 34055  df-atl 34086  df-cvlat 34110  df-hlat 34139  df-llines 34285  df-lplanes 34286  df-lvols 34287  df-lines 34288  df-psubsp 34290  df-pmap 34291  df-padd 34583  df-lhyp 34775  df-laut 34776  df-ldil 34891  df-ltrn 34892  df-trl 34947
This theorem is referenced by:  ltrniotacnvval  35371  ltrniotaidvalN  35372  ltrniotavalbN  35373  cdlemm10N  35908  cdlemn2  35985  cdlemn3  35987  cdlemn9  35995  dihmeetlem13N  36109  dih1dimatlem0  36118  dihjatcclem3  36210
  Copyright terms: Public domain W3C validator