Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrnle 35733
Description: Less-than or equal property of a lattice translation. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnle.l = (le‘𝐾)
ltrnle.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnle.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrnle (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝐹𝑋) (𝐹𝑌)))

Proof of Theorem ltrnle
StepHypRef Expression
1 simp1l 1105 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐾𝑉)
2 ltrnle.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2651 . . . 4 (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4 ltrnle.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4ltrnlaut 35727 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
653adant3 1101 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
7 simp3l 1109 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
8 simp3r 1110 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌𝐵)
9 ltrnle.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
10 ltrnle.l . . 3 = (le‘𝐾)
119, 10, 3lautle 35688 . 2 (((𝐾𝑉𝐹 ∈ (LAut‘𝐾)) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝐹𝑋) (𝐹𝑌)))
121, 6, 7, 8, 11syl22anc 1367 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝐹𝑋) (𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  Basecbs 15904  lecple 15995  LHypclh 35588  LAutclaut 35589  LTrncltrn 35705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-map 7901  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709
This theorem is referenced by:  ltrnel  35743  ltrncnvel  35746  cdlemc2  35797  cdlemg17h  36273
  Copyright terms: Public domain W3C validator