Theorem ltrnm 34218

Description: Lattice translation of a meet. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnm.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
ltrnm.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnm.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnm	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem ltrnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1077	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
2		hllat 33451	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		ltrnm.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		eqid 2609	. . . 4 ⊢ (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
6		ltrnm.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
7	4, 5, 6	ltrnlaut 34210	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
8	7	3adant3 1073	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
9		simp3l 1081	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		simp3r 1082	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11		ltrnm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
12		ltrnm.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
13	11, 12, 5	lautm 34181	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ (LAut‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))
14	3, 8, 9, 10, 13	syl13anc 1319	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1030   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  ‘cfv 5789  (class class class)co 6526  Basecbs 15643  meetcmee 16716  Latclat 16816  HLchlt 33438  LHypclh 34071  LAutclaut 34072  LTrncltrn 34188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-map 7723  df-preset 16699  df-poset 16717  df-lub 16745  df-glb 16746  df-join 16747  df-meet 16748  df-lat 16817  df-atl 33386  df-cvlat 33410  df-hlat 33439  df-laut 34076  df-ldil 34191  df-ltrn 34192

This theorem is referenced by:  ltrnmwOLD  34239  cdlemd2  34287  cdlemg17  34766